Em dois carros se encontram na intersecção de duas estradas retas, com velocidades constantes e v2, que formam um ângulo theta. Calcule a distância entre os carros 1 hora após passarem pelo cruzamento se:
(iv) v1=2 v2 e theta=pi3
18. Dadas as funções f e g a seguir, obtenha f circ g e g circ f e seus respectivos domínios de definição:
(a) f(x)=raiz9-9 x^2 e g(x)=cotg x.
Passo 1
O enunciado tem duas partes: primeiro, dois carros partem do mesmo ponto em direções que formam um ângulo θ com velocidades constantes v₁ e v₂; queremos a distância entre eles 1 h depois no caso v₁=2v₂ e θ=π/3. A segunda parte pede as composições de funções f(x)=√(9−9x²) e g(x)=cot x e seus domínios.
Passo 2
Para a parte dos carros, colocamos um sistema em que, em t horas, o primeiro carro está a uma distância v₁t ao longo de uma reta e o segundo a v₂t ao longo de outra reta que faz ângulo θ com a primeira. Pela lei dos cossenos, a distância d entre eles satisfaz d²=(v₁t)²+(v₂t)²−2(v₁t)(v₂t)cos θ. Como t=1 h, usamos t=1 para obter
d=raizv1^2+v2^2-2v1v2costheta
Passo 3
Agora substituímos v₁=2v₂ e θ=π/3, lembrando que cos(π/3)=1/2:
Na parte das funções, anotamos primeiro os domínios individuais:
– Para f(x)=√(9−9x²) precisamos 9−9x²≥0 ⇒ 1−x²≥0 ⇒ −1≤x≤1, logo Dom(f)=[−1,1].
– Para g(x)=cot x=cos x/sin x precisamos sin x≠0 ⇒ x≠kπ, k∈ℤ, logo Dom(g)=ℝ{kπ}.
Passo 5
Calculamos agora f∘g:
(fcirc g)(x)=f(g(x))=raiz9-9cot^2x=3raiz1-cot^2x
Passo 6
O domínio de f∘g exige x∈Dom(g) e g(x)∈[−1,1], ou seja |cot x|≤1. Isso equivale a |cos x|≤|sin x| ⇒ cos2x≤0 ⇒
O domínio de g∘f exige x∈[−1,1] e √(9−9x²)≠kπ. Como √(9−9x²)∈[0,3], a única possibilidade de kπ=0 ocorre em x=±1, que deve ser excluído. Logo Dom(g∘f)=(-1,1).
Resposta
Distância entre os carros após 1 h: d=√3 v₂.
(f∘g)(x)=3√(1−cot²x), com domínio x∈⋃_{k∈ℤ}[π/4+kπ, 3π/4+kπ].