Suponha que
g \in C
{\infty}(\mathbb{R}{n})
\alpha \in \mathbb{N}
{0}^{n}
N{\alpha} \in \mathbb{N}
{0}
\left|\partial{x}^{\alpha} g(x)\right| \leq C_{\alpha}(1+|x|)^{N_{\alpha}}
g \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})
\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})
\left(\phi_{n}\right)
{n \in \mathbb{N}}
\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})
\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})
\lim {n \rightarrow \infty} \phi{n}=\varphi
\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})
\lim {n \rightarrow \infty} g \phi{n}=g \varphi
\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})u \in \mathcal{S}{\prime}(\mathbb{R}{n})
g u
(g u)(\varphi)=u(g \varphi)
\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})u \in \mathcal{S}{\prime}(\mathbb{R}{n})
\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})
u * \varphi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{C}
u * \varphi(x)=u(y \mapsto \varphi(x-y))u * \varphi
C{\infty}(\n2))\partial{\alpha}(u * \varphi)=\left(\partial^{\alpha} u\right) * \varphi=u *\left(\partial^{\alpha} \varphi\right)N \in \mathbb{N}{0}
\alpha \in \mathbb{N}
{0}^{n}
\left|\partial^{\alpha}(u * \varphi)(x)\right| \leq C{\alpha}(1+|x|)^{N}
C_{\alpha}>0
\alpha
x, y \in \mathbb{N}
{0}
K \geq 0
|y|^{K} \leq(1+|x-y|){K}(1+|x|){K}a
\sup {y \in \mathbb{R}{n}}\left|y{\beta} \partial^{\alpha} \varphi(x-y)\right| \leq C{K}(1+|x|)^{|\beta|}u
b
|(u * \varphi)(x)| \leq C(1+|x|)^{N}\partial^{\alpha} \varphi
\varphi
\left|\partial^{\alpha}(u * \varphi)(x)\right| \leq C{\alpha}(1+|x|)^{N}
g \in C
{\infty}(\mathbb{R}{n})
\alpha \in \mathbb{N}
{0}^{n}
N{\alpha} \in \mathbb{N}
{0}
\left|\partial{x}^{\alpha} g(x)\right| \leq C_{\alpha}(1+|x|)^{N_{\alpha}}
g \in C
{\infty}(\mathbb{R}{n})
\alpha \in \mathbb{N}
{0}^{n}
N{\alpha} \in \mathbb{N}
{0}
\left|\partial{x}^{\alpha} g(x)\right| \leq C_{\alpha}(1+|x|)^{N_{\alpha}}$.
a) Mostre que
, se
. Mostre também que se
é uma sequência em
e
é tal que
em
, então
em
.
b) Seja
. Mostre que
definido como
para todo
também é uma distribuição temperada.’, ‘images’: []}, {‘label’: ‘4’, ‘content’: '4. (Folland cap.9.4 ex.4) Suponha que
é uma distribuição temperada e
. Vamos definir
por
. Pode-se mostrar que (não é o objetivo do exercício. Apenas assuma este fato)
-
é uma função
-
.
Nosso objetivo é mostrar que existe
tal que para todo
, temos
, em que
é uma constante que depende de
. Para tanto, siga os seguintes passos:
a) Mostre que para todo
, existe
tal que
.
b) Usando o item
), mostre que
.
c) Conclua, usando a continuidade de
e o resultado do item
, que
.
d) Repita o argumento acima com
no lugar de
para concluir que
.’, ‘images’: []}]}))print(default_api.ContentQuestionGroups(question_groups=[{