1. t^{3} y^{\prime}+4 t^{2} y=e^{t}, \quad y(-1)=0, \quad t<0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial, e pede encontrar a solução para t<0. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação diferencial: t^{3}y' + 4t^{2}y = e^{t}.
  • Condição inicial: y(-1)=0.
  • Domínio indicado: t<0 (portanto t\neq0, logo é legítimo dividir por t quando necessário).
    A tarefa é achar a função y(t) definida para t<0 que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Para isso dividimos ambos os lados por t^{3} (válido porque t\neq0 no domínio dado):
y' + \frac{4}{t}\,y = \frac{e^{t}}{t^{3}}.
Aqui reconhecemos a forma padrão
y' + p(t)\,y = q(t),
com p(t)=\dfrac{4}{t} e q(t)=\dfrac{e^{t}}{t^{3}}.

Passo 3

Explicar e calcular o fator integrante. Para uma equação y' + p(t)y = q(t) o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
No nosso caso
\int p(t)\,dt = \int \frac{4}{t}\,dt = 4\ln|t| = \ln|t|^{4},
portanto
\mu(t)=|t|^{4}.
Como estamos no domínio t<0, tem-se |t|=-t mas |t|^{4}=t^{4}. Assim podemos usar \mu(t)=t^{4} (positivo para todo t\neq0).

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(t)=t^{4}. Obtém-se
t^{4}y' + 4t^{3}y = t^{4}\cdot\frac{e^{t}}{t^{3}} = t e^{t}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (t^{4}y)', pois
(t^{4}y)' = t^{4}y' + 4t^{3}y.
Logo a equação fica
(t^{4}y)' = t e^{t}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t:
t^{4}y = \int t e^{t}\,dt + C.
Calcular a integral \int t e^{t}\,dt por partes. Escolhendo u=t e dv=e^{t}dt temos du=dt e v=e^{t}. Assim
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} + C = e^{t}(t-1)+C.
Portanto
t^{4}y = e^{t}(t-1) + C.

Passo 6

Resolver para y e aplicar a condição inicial. Temos
y(t) = \frac{e^{t}(t-1)}{t^{4}} + C\,t^{-4}.
Aplicando y(-1)=0:
0 = y(-1) = \frac{e^{-1}(-1-1)}{(-1)^{4}} + C(-1)^{-4} = \frac{e^{-1}(-2)}{1} + C\cdot 1 = -\frac{2}{e} + C.
Logo C=\dfrac{2}{e}.
Substituindo C na expressão geral obtém-se a solução particular no domínio t<0.

Resposta

y(t)=\frac{e^{t}(t-1)}{t^{4}}+\frac{2}{e\,t^{4}},\qquad t<0

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