Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial, e pede encontrar a solução para
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - Domínio indicado:
(portanto , logo é legítimo dividir por quando necessário).
A tarefa é achar a funçãodefinida para que satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Para isso dividimos ambos os lados por
(válido porque
no domínio dado):
Aqui reconhecemos a forma padrão
com
e
.
Passo 3
Explicar e calcular o fator integrante. Para uma equação
o fator integrante é
No nosso caso
portanto
Como estamos no domínio
, tem-se
mas
. Assim podemos usar
(positivo para todo
).
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
. Obtém-se
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Logo a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
Calcular a integral
por partes. Escolhendo
e
temos
e
. Assim
Portanto
Passo 6
Resolver para
e aplicar a condição inicial. Temos
Aplicando
:
Logo
.
Substituindo
na expressão geral obtém-se a solução particular no domínio
.