T10. Um pedaço de cobre sólido com 6,00 \mathrm{~kg} é colocado junto a 2,00 \mathrm{~kg} de gelo inicialmente a -20,0{ }^{\circ} \mathrm{C}. O gelo está em um recipiente isolado, com massa desprezível, e nenhum calor é trocado com o ambiente. Depois que o equilíbrio térmico for atingido, há 1,20 \mathrm{~kg} de gelo e 0,800 \mathrm{~kg} de água líquida. Qual era a temperatura inicial do pedaço de cobre? Resp: 150^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Massa do pedaço de cobre: m_{Cu}=6{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • Massa inicial do gelo: m_{gelo,\,inicial}=2{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial do gelo: T_{gelo,\,inicial}=-20{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Depois do equilíbrio térmico (recipiente isolado, sem trocas com o ambiente) ficam:
    • Massa de gelo: m_{gelo,\,final}=1{,}20\\ \mathrm{kg}.
    • Massa de água líquida: m_{agua}=0{,}800\\ \mathrm{kg}.
  • O recipiente tem massa desprezível.
  • Pergunta: qual era a temperatura inicial do pedaço de cobre? (ou seja, encontrar T_{Cu,\,inicial}).
Observação importante extraída do enunciado: no equilíbrio há simultaneamente gelo e água, logo a temperatura de equilíbrio é 0^\circ\mathrm{C}. Isso significa que o cobre acabou resfriando até 0^\circ\mathrm{C} (se não houvesse gelo sobrando, seria outra história, mas aqui existe gelo e água juntos).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  1. Calor recebido/cedido por uma substância quando sua temperatura muda sem mudança de fase:
Q = m\,c\,\Delta T.
  • Q é o calor (em joules, \mathrm{J}).
  • m é a massa (em kg).
  • c é o calor específico (em \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}); indica quanta energia é necessária para aquecer 1 kg da substância em 1^\circ\mathrm{C}.
  • \Delta T é a variação de temperatura \Delta T=T_{final}-T_{inicial} (em ^\circ\mathrm{C} ou K — para variações a unidade é equivalente).
  1. Calor envolvido em mudança de fase (fusão do gelo):
Q = m\,L_f.
  • L_f é o calor latente de fusão (em \mathrm{J/kg}); é a energia necessária para fundir 1 kg de gelo à temperatura de fusão sem mudar a temperatura.
  1. Conservação de energia (no sistema isolado): o calor cedido pelo cobre ao esfriar é igual ao calor absorvido pelo gelo/água para aquecer e fundir:
Q_{cedido\,pelo\,Cu} = Q_{absorvido\,pelo\,gelo}.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao problema (montando as expressões):
  • Temperatura final do sistema: T_{final}=0^\circ\mathrm{C} (porque há gelo e água coexistindo).
  • Calor cedido pelo cobre ao esfriar de T_{Cu,\,inicial} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{Cu} = m_{Cu}\,c_{Cu}\,(T_{Cu,\,inicial}-0).
  • Calor absorvido pelo gelo possui duas partes:
    A) aquecimento do gelo de -20{,}0^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C} (toda a massa inicial do gelo precisa ser aquecida até 0^\circ\mathrm{C}):
Q_{aquecimento} = m_{gelo,\,inicial}\,c_{gelo}\,(0-(-20{,}0)) = m_{gelo,\,inicial}\,c_{gelo}\cdot 20{,}0.
B) fusão de parte do gelo: a massa que efetivamente derreteu é
m_{derretida}=m_{gelo,\,inicial}-m_{gelo,\,final}=2{,}00-1{,}20=0{,}800\\ \mathrm{kg}.
O calor de fusão será
Q_{fusao}=m_{derretida}\,L_f.
  • Energia total absorvida pelo gelo (aquecimento + fusão):
Q_{gelo}=Q_{aquecimento}+Q_{fusao}.
  • Igualando as energias:
m_{Cu}\,c_{Cu}\,(T_{Cu,\,inicial}) = m_{gelo,\,inicial}\,c_{gelo}\cdot 20{,}0 + m_{derretida}\,L_f.

Passo 4

Escolha dos valores numéricos típicos (valores habituais em problemas de termodinâmica) e unidades — explicando cada um:
  • Calor específico do cobre: vou usar \displaystyle c_{Cu}=3{,}90\times10^{2}\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)} (ou 390\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}). Esse é um valor arredondado comumente usado em listas/exames.
  • Calor específico do gelo: \displaystyle c_{gelo}=2{,}10\times10^{3}\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)} (ou 2100\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}).
  • Calor latente de fusão do gelo: \displaystyle L_f=3{,}34\times10^{5}\\ \mathrm{J/kg} (ou 334000\\ \mathrm{J/kg}).
Agora calculamos cada termo (fazendo operações passo a passo para você poder reproduzir na prova sem calculadora complexa):
  1. Aquecimento do gelo de -20{,}0^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{aquecimento}=m_{gelo,\,inicial}\,c_{gelo}\cdot 20{,}0 =2{,}00\cdot(2{,}10\times10^{3})\cdot20{,}0.
Calcule passo a passo:
2{,}10\times10^{3}\cdot20{,}0 = 2{,}10\times20{,}0\times10^{3}=42{,}0\times10^{3}=42{,}000\\ \mathrm{J\\ per\\ kg},
multiplicando por 2{,}00:
Q_{aquecimento}=2{,}00\cdot42{,}000=84{,}000\\ \mathrm{J}.
  1. Fusão da massa 0{,}800\\ \mathrm{kg}:
Q_{fusao}=m_{derretida}\,L_f=0{,}800\cdot3{,}34\times10^{5}.
Calcule:
0{,}800\cdot3{,}34\times10^{5}= (0{,}8\cdot3{,}34)\times10^{5}=2{,}672\times10^{5}=267{,}200\\ \mathrm{J}.
  1. Energia total absorvida pelo gelo:
Q_{gelo}=Q_{aquecimento}+Q_{fusao}=84{,}000+267{,}200=351{,}200\\ \mathrm{J}.
  1. Energia cedida pelo cobre ao esfriar até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{Cu}=m_{Cu}\,c_{Cu}\,T_{Cu,\,inicial}=6{,}00\cdot(3{,}90\times10^{2})\cdot T_{Cu,\,inicial}.
Calcule o coeficiente:
6{,}00\cdot3{,}90\times10^{2}= (6\cdot390)=2{,}340\\ \mathrm{J/^\circ C}.
Logo
Q_{Cu}=2{,}340\cdot T_{Cu,\,inicial}.
  1. Igualando Q_{Cu}=Q_{gelo}:
2{,}340\cdot T_{Cu,\,inicial}=351{,}200.
Isolando T_{Cu,\,inicial}:
T_{Cu,\,inicial}=\dfrac{351{,}200}{2{,}340}\approx150{,}09\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando para um número apropriado (e lembrando que usamos valores arredondados para c_{Cu} e c_{gelo}), obtemos
T_{Cu,\,inicial}\approx150^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Verificação rápida e comentário prático: se em vez de c_{Cu}=390\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)} usássemos 385\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)} (outro valor comum), daria cerca de 152^\circ\mathrm{C}. A diferença mostra que o resultado depende um pouco das constantes escolhidas, mas com os valores arredondados usuais o resultado coincide com a resposta esperada 150^\circ\mathrm{C}. Boa notícia: estamos coerentes com a resposta indicada.

Resposta

150^\circ\mathrm{C}

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