T08. Uma bala de 15,0 \mathrm{~g} viajando horizontalmente a 865 \mathrm{~m} / \mathrm{s} atravessa um tanque contendo 13,5 \mathrm{~kg} de água e emerge com uma velocidade de 534 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é o aumento de temperatura máximo que a água poderia ter em consequência desse evento? Resp.: 00613^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Massa da bala: m_b = 15{,}0\\ \mathrm{g} = 0{,}015\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial da bala: v_i = 865\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade final da bala (ao sair do tanque): v_f = 534\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa da água do tanque: m_w = 13{,}5\\ \mathrm{kg}.
  • O enunciado pede: o aumento máximo de temperatura da água, isto é, o maior valor possível de \Delta T que a água poderia adquirir devido à passagem da bala.
Observação importante (implicita no enunciado de “aumento máximo”): assumir que toda a energia cinética perdida pela bala é convertida em calor absorvido somente pela água (sem perda para o ar, para o tanque, para a bala, etc.). Essa hipótese dá o aumento máximo de temperatura.

Passo 2

Princípios físicos e fórmulas que vamos usar (aula rápida):
  • Energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v:
E_k=\tfrac{1}{2} m v^2.
Aqui vamos calcular a energia cinética antes e depois para obter a energia perdida pela bala.
  • Conservação de energia (no sentido prático aqui): a energia perdida pela bala vira calor Q entregue à água (hipótese de transferência completa). Então
Q = \Delta E_k = E_{k,\text{inicial}} - E_{k,\text{final}}.
  • Relação entre calor recebido e aumento de temperatura (capacidade térmica):
Q = m_w c\, \Delta T,
onde:
  • m_w é a massa da água,
  • c é o calor específico da água. Usaremos c = 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot ^\circ C)} (valor padrão),
  • \Delta T é o aumento de temperatura que queremos.
Isolando \Delta T:
\Delta T = \dfrac{Q}{m_w c}.

Passo 3

Calcular a energia cinética inicial e final da bala e sua diferença:
  • Primeiro calculemos v_i^2 e v_f^2:
v_i^2 = 865^2 = 748\,225, \qquad v_f^2 = 534^2 = 285\,156.
  • Diferença das velocidades ao quadrado:
v_i^2 - v_f^2 = 748\,225 - 285\,156 = 463\,069.
  • Energia perdida pela bala:
\Delta E_k = \tfrac{1}{2} m_b \bigl(v_i^2 - v_f^2\bigr).
Substituindo m_b = 0{,}015\\ \mathrm{kg}:
\tfrac{1}{2} m_b = \tfrac{1}{2}\cdot0{,}015 = 0{,}0075.
Logo
\Delta E_k = 0{,}0075 \times 463\,069 = 3\,473{,}0175\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente temos
Q \approx 3{,}47\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular o aumento de temperatura da água usando Q = m_w c \Delta T.
  • Primeiro o produto m_w c:
m_w c = 13{,}5\\ \mathrm{kg}\times 4186\\ \mathrm{\dfrac{J}{kg\cdot^\circ C}} = 56\,511\\ \mathrm{\dfrac{J}{^\circ C}}.
  • Agora \Delta T:
\Delta T = \dfrac{Q}{m_w c} = \dfrac{3\,473{,}0175}{56\,511}\\ \,^\circ\mathrm{C}.
Fazendo a divisão:
\Delta T \approx 0{,}06147\\ ^\circ\mathrm{C}.
Observações didáticas rápidas:
  • O valor final depende um pouco do valor escolhido para c (em livros às vezes vê-se 4184 ou 4200 J/(kg·°C)); isso muda a terceira casa decimal.
  • A hipótese de transferência total de energia é idealizada; na prática parte do calor se perde para o tanque, ar, bala, etc., então este é o aumento máximo possível.

Passo 5

Arredondamento e encorajamento final:
  • Arredondando a um número de casas significativo adequado (por exemplo quatro algarismos no total para manter precisão razoável), podemos dar
\Delta T \approx 0{,}0615\\ ^\circ\mathrm{C}.
Isso é um aumento muito pequeno — faz sentido: a água tem grande capacidade térmica e a energia envolvida da bala é relativamente pequena comparada à energia necessária para aquecer 13,5 kg de água.
Força aí — esse tipo de conta (energia cinética → calor → \Delta T) aparece direto em provas: identificar energia convertida e usar Q = mc\Delta T é o caminho.

Resposta

0{,}0615^\circ\mathrm{C}

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