T11. Um mecânico resfria uma garrafa de refrigerante de 2,00 litros colocando-a em uma grande caneca de alumínio com massa igual a 0,257 \mathrm{~kg} e adicionando 0,120 \mathrm{~kg} de gelo inicialmente a -15,0^{\circ} \mathrm{C}. Se a caneca e a lata estão inicialmente a 20,0^{\circ} \mathrm{C}, qual é a temperatura final do sistema? Considere que as perdas de calor sejam desprezíveis e o refrigerante seja essencialmente composto de água. Resp. 14,1^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado fornece e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Garrafa de refrigerante (tratada como água) com volume 2,00\\ \mathrm{L}.
    • Como a densidade da água é 1{,}00\\ \mathrm{kg/L}, a massa da água é m_{w}=2,00\\ \mathrm{kg}.
  • Caneca de alumínio com massa m_{\mathrm{Al}}=0,257\\ \mathrm{kg}.
  • Gelo com massa m_{\mathrm{gelo}}=0,120\\ \mathrm{kg}, inicialmente a -15,0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura inicial da caneca e da garrafa (da água) é T_{i,\mathrm{quente}}=20,0^\circ\mathrm{C}.
  • Não há perda de calor para o ambiente (sistema isolado).
  • O que se pede: a temperatura final de equilíbrio T_f do sistema.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicado passo a passo).
  • Calor específico ( c): quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 1\\ \mathrm{kg} de uma substância em 1^\circ\mathrm{C}. A fórmula para calor trocado ao variar a temperatura é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde m é a massa, c é o calor específico e \Delta T=T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
  • Calor latente de fusão ( L_f): energia necessária para converter 1\\ \mathrm{kg} de gelo a 0^\circ\mathrm{C} em água a 0^\circ\mathrm{C} sem mudança de temperatura. A fórmula é
Q_{\text{fusão}} = m\,L_f.ã
  • Conservação de energia térmica (isolamento): o calor perdido pelas partes quentes é igual ao calor ganho pelas partes frias:
\sum Q_{\text{perdido}} + \sum Q_{\text{ganho}} = 0.
No nosso problema: calor perdido pela água e pela caneca ao resfriarem de 20,0^\circ\mathrm{C} até T_f = calor ganho pelo gelo ao aquecer de -15,0^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}, mais calor gasto na fusão, mais calor para aquecer a água de fusão de 0^\circ\mathrm{C} até T_f.
Valores típicos (usados aqui):
  • Calor específico da água: c_{w}=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}.
  • Calor específico do gelo: c_{\text{gelo}}=2100\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}.
  • Calor específico do alumínio: c_{\mathrm{Al}}=900\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}.
  • Calor latente de fusão da água: L_f=334000\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 3

Decisão do cenário físico (tudo que vamos assumir) e checagem inicial rápida.
  • Há duas possibilidades finais comuns: (A) parte ou todo o gelo não derrete e a temperatura final fica em T_f\le 0^\circ\mathrm{C}; (B) todo o gelo derrete e T_f>0^\circ\mathrm{C}.
  • Método prático: calcular se a energia disponível ao esfriar a água + alumínio de 20,0^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C} é suficiente para levar o gelo de -15,0^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C} e fundi-lo. Se for suficiente, então todo o gelo derrete e teremos T_f>0^\circ\mathrm{C} (caso B). Se não for suficiente, o equilíbrio ficará com T_f\le 0^\circ\mathrm{C} (caso A).
  • Calculo rápido da energia disponível ao resfriar até 0^\circ\mathrm{C} (vou calcular direitinho no próximo passo). Se essa energia for maior que a necessária para aquecer e fundir o gelo, seguimos com o caso em que todo o gelo derrete.

Passo 4

Escrever a equação de conservação de energia assumindo que todo o gelo termina fundido (ou seja, T_f>0^\circ\mathrm{C}). Explico cada termo.
  • Calor perdido por água e alumínio ao irem de 20,0^\circ\mathrm{C} para T_f:
Q_{\text{perda}} = (m_{w} c_{w} + m_{\mathrm{Al}} c_{\mathrm{Al}})\,(20{,}0 - T_f).
Aqui m_{w} c_{w} e m_{\mathrm{Al}} c_{\mathrm{Al}} são as capacidades térmicas (J/°C) da água e da caneca; o termo (20{,}0 - T_f) é a variação de temperatura que elas sofrem (positiva se esfriam).
  • Calor ganho pelo gelo (três passos): aquecer de -15{,}0^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}; fundir a massa de gelo; aquecer a água de fusão de 0^\circ\mathrm{C} até T_f:
Q_{\text{ganho}} = m_{\text{gelo}} c_{\text{gelo}}\,(0 - (-15{,}0)) + m_{\text{gelo}} L_f + m_{\text{gelo}} c_{w}\,(T_f - 0).
  • Conservação de energia (calor perdido = calor ganho):
(m_{w} c_{w} + m_{\mathrm{Al}} c_{\mathrm{Al}})\,(20{,}0 - T_f) = m_{\text{gelo}} c_{\text{gelo}}\cdot 15{,}0 + m_{\text{gelo}} L_f + m_{\text{gelo}} c_{w}\,T_f.

Passo 5

Substituir os valores numéricos nas fórmulas e calcular passo a passo.
Primeiro, capacidades térmicas:
m_{w} c_{w} = 2{,}00 \times 4186 = 8372\\ \mathrm{J/^\circ C},
m_{\mathrm{Al}} c_{\mathrm{Al}} = 0{,}257 \times 900 = 231{,}3\\ \mathrm{J/^\circ C}.
Somando:
C_{\text{quente}} = m_{w} c_{w} + m_{\mathrm{Al}} c_{\mathrm{Al}} = 8372 + 231{,}3 = 8603{,}3\\ \mathrm{J/^\circ C}.
Agora os termos do lado do gelo:
m_{\text{gelo}} c_{\text{gelo}}\cdot 15{,}0 = 0{,}120 \times 2100 \times 15{,}0.
Calcule em partes: 0{,}120 \times 2100 = 252\\ \mathrm{J/^\circ C}. Multiplicando por 15{,}0^\circ\mathrm{C}:
252 \times 15{,}0 = 3780\\ \mathrm{J}.
Termo da fusão:
m_{\text{gelo}} L_f = 0{,}120 \times 334000 = 40080\\ \mathrm{J}.
Termo para aquecer a água formada de 0 até T_f:
m_{\text{gelo}} c_{w}\,T_f = 0{,}120 \times 4186 \times T_f = 502{,}32\\ T_f\\ \mathrm{J}.
Substituindo tudo na equação do Passo 4:
8603{,}3\,(20{,}0 - T_f) = 3780 + 40080 + 502{,}32\,T_f.

Passo 6

Resolver a equação linear para T_f passo a passo.
Expandindo o lado esquerdo:
8603{,}3\times 20{,}0 - 8603{,}3\,T_f = 3780 + 40080 + 502{,}32\,T_f.
Calcule 8603{,}3\times 20{,}0:
8603{,}3 \times 20{,}0 = 172066\\ \mathrm{J}.
Então
172066 - 8603{,}3\,T_f = 43860 + 502{,}32\,T_f.
Isolando T_f: primeiro subtrai 43860 de ambos os lados:
172066 - 43860 = 502{,}32\,T_f + 8603{,}3\,T_f.
Calcule 172066 - 43860 = 128206 e some os coeficientes de T_f:
502{,}32 + 8603{,}3 = 9105{,}62.
Logo
128206 = 9105{,}62\,T_f.
Portanto
T_f = \frac{128206}{9105{,}62} \approx 14{,}08^\circ\mathrm{C}.
Arredondando à mesma precisão dos dados (duas casas decimais ou, por convenção da resposta do enunciado, uma casa decimal):
T_f \approx 14{,}1^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Checagem de consistência e interpretação (importantíssimo na prova).
  • A solução deu T_f>0^\circ\mathrm{C}, portanto a hipótese de que todo o gelo derreteu estava correta.
  • Verificação rápida: energia disponível ao esfriar água+alumínio até 0^\circ\mathrm{C} é 8603{,}3\times 20{,}0=172066\\ \mathrm{J}, maior que a energia necessária para aquecer o gelo a 0^\circ\mathrm{C} e fundi-lo ( 3780+40080=43860\\ \mathrm{J}). Resta energia suficiente para aquecer a água de fusão até cerca de 14{,}1^\circ\mathrm{C}, consistente com o cálculo.
Força moral: em prova, siga essa sequência prática — identifique massas e temperaturas, pergunte se o gelo vai derreter totalmente (checando energia), escreva a equação de conservação com atenção nos sinais, e resolva linearmente. Você já tem um bom roteiro para problemas desses!

Resposta

14{,}1^\circ\mathrm{C}

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