P02. Seis moles de um gås ideal estão em um cılındro com um pıstāo móvel em uma de suas extremıdades. A temperatura inicial do gás é 27,0^{\circ} \mathrm{C} e a pressão é constante. Como parte do projeto da máquina, calcule a temperatura final do gás depois que ele houver realizado 2,40 \times 10^{3} \mathrm{~J} de trabalho. Resp: 75,1^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • quantidade de matéria: n=6 mol.
    • temperatura inicial: T_i=27{,}0^{\circ}\mathrm{C}.
    • trabalho realizado pelo gás: W=2,40\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
    • a pressão é constante (processo isobárico).
  • O que o enunciado pede:
    • calcular a temperatura final do gás depois que ele realizou o trabalho pedido (fornecer em ^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Entender a relação entre trabalho e variação de temperatura num processo isobárico e explicar as fórmulas que vou usar.
  1. Trabalho em processo a pressão constante: quando a pressão é constante, o trabalho realizado pelo gás é dado por
W = p\,\Delta V,
onde p é a pressão e \Delta V é a variação do volume.
  1. Lei dos gases ideais: para um gás ideal vale
pV = nRT,
onde p é a pressão, V o volume, n a quantidade de mols, R a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta (em kelvin). Aqui R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  1. Relacionando p\,\Delta V com variação de temperatura: como p é constante, da lei dos gases ideais aplicando nos estados inicial e final:
pV_i = nRT_i, \qquad pV_f = nRT_f.
Subtraindo as duas equações obtemos
p(V_f-V_i)=nR(T_f-T_i).
Ou seja,
p\,\Delta V = nR\,\Delta T.
Portanto, para um processo isobárico do gás ideal vale
W = nR\,\Delta T,
onde \Delta T=T_f-T_i.

Passo 3

Isolar a temperatura final a partir de W = nR\,\Delta T.
A equação \;W = nR(T_f-T_i)\; pode ser rearranjada para T_f:
T_f = T_i + \frac{W}{nR}.
Aqui:
  • T_f é a temperatura final em kelvin;
  • T_i é a temperatura inicial em kelvin;
  • W é o trabalho realizado pelo gás (em joules);
  • n é o número de mols;
  • R é a constante dos gases 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Observação importante: a temperatura inicial dada em graus Celsius deve ser convertida para kelvin usando
T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.

Passo 4

Aplicar os números passo a passo (contas que dá pra fazer na prova sem calculadora com passos simples).
  1. Converter T_i para kelvin:
T_i = 27{,}0^{\circ}\mathrm{C} = 27{,}0 + 273{,}15 = 300{,}15\\ \mathrm{K}.
  1. Calcular nR:
nR = 6\cdot 8{,}314 = 49{,}884\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
(ou, para simplificar a conta, pode dividir W por n primeiro: W/n = 2{,}40\times10^{3}/6 = 400\\ \mathrm{J}, e depois dividir por R.)
  1. Calcular a variação de temperatura:
\Delta T = \frac{W}{nR} = \frac{2{,}40\times10^{3}}{49{,}884}\\ \mathrm{K}.
Usando a estratégia alternativa:
\Delta T = \frac{W}{nR} = \frac{400}{8{,}314}\\ \mathrm{K}\approx 48{,}12\\ \mathrm{K}.
  1. Calcular T_f em kelvin:
T_f = T_i + \Delta T = 300{,}15 + 48{,}12 = 348{,}27\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Converter T_f de volta para graus Celsius e arredondar de forma conveniente para a resposta final.
T_f(^{\circ}\mathrm{C}) = T_f(\mathrm{K}) - 273{,}15 = 348{,}27 - 273{,}15 = 75{,}12^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando conforme a resposta dada no enunciado (uma casa decimal):
T_f \approx 75{,}1^{\circ}\mathrm{C}.
Dica amiga: um jeito rápido na prova é lembrar a fórmula direta para processo isobárico
T_f = T_i + \frac{W}{nR},
converter T_i para kelvin, calcular \dfrac{W}{n} (aqui deu 400\\ \mathrm{J}) e dividir por R para achar \Delta T. Fácil de aplicar sem muitas etapas.

Resposta

75{,}1^{\circ}\mathrm{C}

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