Uma indústria de embalagens metálicas está avaliando o processo de produção das tampas de alumínio. As especificações de diâmetro das tampas são LSE igual a 60,20 \mathrm{~mm} e LIE igual a 59,80 \mathrm{~mm}. Foram coletadas 20 amostras de 5 tampas cada e construiu-se o gráfico R para controle do processo. Do gráfico, obteve-se \bar{R}=0,012 \mathrm{~mm}. Considerando a média global do processo de \overline{\bar{X}}=60,05 \mathrm{~mm}, calcule o índice de capacidade real estimado e interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o “índice de capacidade real estimado” do processo e que eu interprete o resultado. Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram no enunciado):
\text{LSE} = 60,20\\ \mathrm{mm}
\text{LIE} = 59,80\\ \mathrm{mm}
Foram coletadas 20 amostras de 5 tampas cada (ou seja, k=20 subgrupos, cada subgrupo com n=5). Do gráfico R obteve-se
\bar{R} = 0,012\\ \mathrm{mm}.
A média global do processo é
\overline{\bar{X}} = 60,05\\ \mathrm{mm}.
Pergunta: calcular o índice de capacidade real estimado e interpretar o resultado.

Passo 2

Explicação do que é o índice que vamos calcular e qual fórmula usar (aula curta e prática).
O “índice de capacidade real” normalmente refere-se ao índice que leva em conta o desvio do processo em relação ao centro da especificação — ou seja, o índice que penaliza deslocamento do processo. Esse índice é o C_{pk}. Sua definição e fórmula são:
C_{pk} = \min\left(\frac{\text{USL}-\mu}{3\sigma},\;\frac{\mu-\text{LSL}}{3\sigma}\right),
onde:
  • \text{USL} é o limite superior de especificação (aqui \text{LSE});
  • \text{LSL} é o limite inferior de especificação (aqui \text{LIE});
  • \mu é a média real do processo (aqui \overline{\bar{X}});
  • \sigma é o desvio-padrão do processo (a estimar a partir das amostras).
    Raciocínio: o numerador mede a “folga” do processo até cada limite em unidades da própria variável; dividir por 3\sigma transforma essa folga em número de sigmas (3σ corresponde ao semi-largura de \pm 3\sigma, que cobre ~99,73% se a distribuição for normal). Tomamos o mínimo dos dois lados porque o lado mais próximo ao limite dita a capacidade real.

Passo 3

Como estimar \sigma a partir de \bar{R} (aula prática).
Quando temos subgrupos pequenos (aqui n=5) e conhecemos a média das amplitudes \bar{R}, a estimativa clássica para \sigma é:
\hat{\sigma} = \frac{\bar{R}}{d_2},
onde d_2 é uma constante que depende do tamanho do subgrupo n. Essa constante vem de tabelas de estatística (é a esperança da amplitude de uma amostra normalizada) e já é tabulada para valores de n. Para n=5 temos
d_2 = 2,326.
Aplicando:
\hat{\sigma} = \frac{0,012}{2,326}.
Faço a divisão passo a passo: multiplicando 2,326 por 0,005 já dá 0,01163; calculando mais precisamente,
\hat{\sigma} \approx 0,005162\\ \mathrm{mm}.
(Arredondei depois; a ideia é que você faça a divisão com lápis e papel ou calculadora se permitido — o procedimento é esse.)

Passo 4

Calcular as duas razões que entram no mínimo do C_{pk}.
Primeiro calculemos as folgas (numeradores):
\text{USL}-\mu = 60,20 - 60,05 = 0,15\\ \mathrm{mm},
\mu-\text{LSL} = 60,05 - 59,80 = 0,25\\ \mathrm{mm}.
Agora calculemos 3\hat{\sigma}:
3\hat{\sigma} = 3 \times 0,005162 \approx 0,015486\\ \mathrm{mm}.
Agora as duas razões:
\frac{\text{USL}-\mu}{3\hat{\sigma}} = \frac{0,15}{0,015486} \approx 9,682,
\frac{\mu-\text{LSL}}{3\hat{\sigma}} = \frac{0,25}{0,015486} \approx 16,133.
Expliquei cada passo para você poder refazer: calcule a folga até cada limite, calcule 3\hat{\sigma} e divida.

Passo 5

Determinar C_{pk} e comentar sobre arredondamento.
C_{pk} = \min(9,682,\;16,133) = 9,682.
Arredondando para duas casas decimais:
C_{pk} \approx 9,68.

Passo 6

Interpretação do resultado (o que isso significa na prática).
  • Regras práticas de interpretação: se C_{pk}<1 o processo não atende especificações; C_{pk}\approx 1 é aceitável mas com pouca folga; C_{pk}\ge 1,33 é geralmente considerado bom; C_{pk}\ge 2 é excelente.
  • Aqui C_{pk}\approx 9,68 é um valor extremamente alto: isso indica que a variabilidade do processo é muito pequena em comparação com a tolerância de 0,40\\ \mathrm{mm} (diferença entre LSE e LIE), mesmo considerando o pequeno deslocamento da média ( \mu=60,05 está 0,05\\ \mathrm{mm} acima do centro 60,00). Na prática isso quer dizer que quase todas as tampas produzidas estão muito bem dentro dos limites de especificação — a probabilidade de gerar peças fora de especificação é praticamente zero (usando a aproximação normal os valores z seriam da ordem de +29 e -48, ou seja, irrelevantes).
  • Observação prática: um C_{pk} tão elevado pode indicar que a tolerância é muito larga comparada à precisão do processo; ou que houve uma estimativa de \hat{\sigma} muito pequena (mas aqui \bar{R} foi observado como 0,012\\ \mathrm{mm}). Mesmo com deslocamento de 0,05\\ \mathrm{mm}, o processo está muito dentro das especificações.

Resposta

C_{pk} \approx 9,68
Interpretação: processo extremamente capaz — variabilidade muito pequena frente à largura de tolerância; praticamente nenhuma peça fora da especificação.

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