A tabela abaixo apresenta valores aproximados da concentração C (em mg/L) de uma substância ao longo do tempo t (em minutos):
t
2
4
6
8
10
12
C
5.2
6.1
7.0
7.8
9.0
10.1
Ajuste a função linear \varphi(t)=a t+b pelo método dos mínimos quadrados.
Use o modelo ajustado para estimar a concentração no instante t=15.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(1) Ajustar uma função linear \varphi(t)=a t+b aos dados pelo método dos mínimos quadrados.
(2) Usar esse modelo ajustado para estimar a concentração no instante t=15.
Dados fornecidos (peguei todos esses números da tabela do enunciado):
Valores de t (min): 2,\,4,\,6,\,8,\,10,\,12.
Valores de C (mg/L): 5{,}2,\,6{,}1,\,7{,}0,\,7{,}8,\,9{,}0,\,10{,}1.
Vou usar esses pares \big(t_i,C_i\big) para ajustar a reta \varphi(t)=a t+b.
Passo 2
Explicando o método dos mínimos quadrados de forma prática (passo a passo e sem pular etapas):
Ideia: escolher a\) e \(b\) para minimizar a soma dos quadrados dos erros (resíduos) entre os valores observados \(C_i\) e os valores previstos \(\varphi(t_i)=a t_i+b\).
- Definimos a função objetivo (soma dos quadrados):
\[S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\big(C_i-(a t_i+b)\big)^2,
onde n é o número de pontos (aqui n=6). A ideia é derivar essa função em relação a a e b, igualar a zero e resolver o sistema obtido (essas são as chamadas equações normais).
Cálculo das equações normais: tomar derivadas parciais e igualar a zero:
Aqui \sum t_i\], \(\sum C_i, \sum t_i^2 e \sum t_i C_i são somas sobre todos os n pontos. A unidade de a será \text{mg/L per min} e a de b será \text{mg/L}.]
Passo 3
Calcular as somas necessárias usando os dados (estou explicitando cada operação para você poder refazer sem calculadora, quando possível):
Interpretação: b\approx4{,}1333 mg/L é o valor estimado pela reta para t=0 (intercepto). Em muitos problemas esse valor pode não ter significado físico direto, mas é útil para a fórmula de predição.
Passo 6
Escrever o modelo ajustado (mostrando a forma exata em frações e a forma aproximada decimal):
\varphi(t)=\dfrac{17}{35}\,t+\dfrac{62}{15}\approx 0{,}485714\\ t + 4{,}133333.
Passo 7
Estimar a concentração no instante t=15 usando o modelo:
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) dá \varphi(15)\approx 11{,}42 mg/L.
Observação didática rápida: estamos aqui fazendo uma pequena extrapolação (os dados vão até t=12 e estamos prevendo em t=15), então melhor confiar mais em previsões próximas à faixa dos dados; quanto mais longe da região observada, maior a incerteza do modelo linear.
Passo 8
Resumo final dos resultados num formato direto que você pode copiar para a prova: