A tabela abaixo apresenta valores aproximados da concentração C (em mg/L) de uma substância ao longo do tempo t (em minutos):
t 2 4 6 8 10 12
C 5.2 6.1 7.0 7.8 9.0 10.1
  1. Ajuste a função linear \varphi(t)=a t+b pelo método dos mínimos quadrados.
  2. Use o modelo ajustado para estimar a concentração no instante t=15.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (1) Ajustar uma função linear \varphi(t)=a t+b aos dados pelo método dos mínimos quadrados.
  • (2) Usar esse modelo ajustado para estimar a concentração no instante t=15.
Dados fornecidos (peguei todos esses números da tabela do enunciado):
  • Valores de t (min): 2,\,4,\,6,\,8,\,10,\,12.
  • Valores de C (mg/L): 5{,}2,\,6{,}1,\,7{,}0,\,7{,}8,\,9{,}0,\,10{,}1.
Vou usar esses pares \big(t_i,C_i\big) para ajustar a reta \varphi(t)=a t+b.

Passo 2

Explicando o método dos mínimos quadrados de forma prática (passo a passo e sem pular etapas):
  • Ideia: escolher a\) e \(b\) para minimizar a soma dos quadrados dos erros (resíduos) entre os valores observados \(C_i\) e os valores previstos \(\varphi(t_i)=a t_i+b\). - Definimos a função objetivo (soma dos quadrados): \[S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\big(C_i-(a t_i+b)\big)^2,
onde n é o número de pontos (aqui n=6). A ideia é derivar essa função em relação a a e b, igualar a zero e resolver o sistema obtido (essas são as chamadas equações normais).
  • Cálculo das equações normais: tomar derivadas parciais e igualar a zero:
\frac{\partial S}{\partial a}=-2\sum_{i=1}^n t_i\big(C_i-(a t_i+b)\big)=0,
\frac{\partial S}{\partial b}=-2\sum_{i=1}^n \big(C_i-(a t_i+b)\big)=0.
Rearranjando, obtemos o sistema linear
\begin{cases} a\displaystyle\sum_{i=1}^n t_i^2 + b\displaystyle\sum_{i=1}^n t_i = \displaystyle\sum_{i=1}^n t_i C_i,\\[6pt] a\displaystyle\sum_{i=1}^n t_i + b\,n = \displaystyle\sum_{i=1}^n C_i. \end{cases}
  • Resolvendo esse sistema por álgebra simples obtemos fórmulas diretas:
a=\dfrac{n\displaystyle\sum t_i C_i - \displaystyle\sum t_i \displaystyle\sum C_i}{\,n\displaystyle\sum t_i^2 - \big(\displaystyle\sum t_i\big)^2\,}, \qquad b=\dfrac{\displaystyle\sum C_i - a\displaystyle\sum t_i}{n}.
Aqui \sum t_i\], \(\sum C_i, \sum t_i^2 e \sum t_i C_i são somas sobre todos os n pontos. A unidade de a será \text{mg/L per min} e a de b será \text{mg/L}.]

Passo 3

Calcular as somas necessárias usando os dados (estou explicitando cada operação para você poder refazer sem calculadora, quando possível):
  • Número de pontos:
n=6.
  • Soma dos tempos:
\sum t_i = 2+4+6+8+10+12 = 42.
  • Soma das concentrações:
\sum C_i = 5{,}2+6{,}1+7{,}0+7{,}8+9{,}0+10{,}1 = 45{,}2.
  • Soma dos quadrados dos tempos:
\sum t_i^2 = 2^2+4^2+6^2+8^2+10^2+12^2 = 4+16+36+64+100+144 = 364.
  • Soma dos produtos t_i C_i (mostrando cada produto):
\begin{aligned} 2\cdot5{,}2 &= 10{,}4,\\\\ 4\cdot6{,}1 &= 24{,}4,\\\\ 6\cdot7{,}0 &= 42{,}0,\\\\ 8\cdot7{,}8 &= 62{,}4,\\\\ 10\cdot9{,}0 &= 90{,}0,\\\\ 12\cdot10{,}1 &= 121{,}2. \end{aligned}
Somando esses produtos:
\sum t_i C_i = 10{,}4+24{,}4+42{,}0+62{,}4+90{,}0+121{,}2 = 350{,}4.
Resumo das somas:
n=6,\quad \sum t_i=42,\quad \sum C_i=45{,}2,\quad \sum t_i^2=364,\quad \sum t_i C_i=350{,}4.

Passo 4

Calcular o coeficiente angular a usando a fórmula:
a=\dfrac{n\sum t_i C_i - (\sum t_i)(\sum C_i)}{\,n\sum t_i^2 - (\sum t_i)^2\,}.
Substituindo os números:
\begin{aligned} \text{numerador} &= 6\cdot350{,}4 - 42\cdot45{,}2 = 2102{,}4 - 1898{,}4 = 204{,}0,\\[4pt] \text{denominador} &= 6\cdot364 - 42^2 = 2184 - 1764 = 420. \end{aligned}
Portanto
a=\dfrac{204{,}0}{420}=\dfrac{17}{35}\approx 0{,}4857142857.
Interpretação: a\approx0{,}4857 mg/L por minuto — ou seja, segundo o ajuste, a concentração aumenta em média cerca de 0{,}486 mg/L a cada minuto.]

Passo 5

Calcular o coeficiente linear b pela fórmula
b=\dfrac{\sum C_i - a\sum t_i}{n}.
Usando os valores (e o a exato \dfrac{17}{35}):
a\sum t_i = \dfrac{17}{35}\cdot 42 = 17\cdot\dfrac{42}{35}=17\cdot\dfrac{6}{5}=17\cdot1{,}2=20{,}4.
Logo
b=\dfrac{45{,}2-20{,}4}{6}=\dfrac{24{,}8}{6}=\dfrac{62}{15}\approx 4{,}1333333333.
Interpretação: b\approx4{,}1333 mg/L é o valor estimado pela reta para t=0 (intercepto). Em muitos problemas esse valor pode não ter significado físico direto, mas é útil para a fórmula de predição.

Passo 6

Escrever o modelo ajustado (mostrando a forma exata em frações e a forma aproximada decimal):
\varphi(t)=\dfrac{17}{35}\,t+\dfrac{62}{15}\approx 0{,}485714\\ t + 4{,}133333.

Passo 7

Estimar a concentração no instante t=15 usando o modelo:
\varphi(15)=\dfrac{17}{35}\cdot 15 + \dfrac{62}{15}.
Calcule passo a passo:
\dfrac{17}{35}\cdot 15 = 17\cdot\dfrac{15}{35}=17\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{51}{7}\approx 7{,}2857142857,
\dfrac{62}{15}\approx 4{,}1333333333.
Somando:
\varphi(15)=\dfrac{51}{7}+\dfrac{62}{15}=\dfrac{1199}{105}\approx 11{,}4190476190.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) dá \varphi(15)\approx 11{,}42 mg/L.
Observação didática rápida: estamos aqui fazendo uma pequena extrapolação (os dados vão até t=12 e estamos prevendo em t=15), então melhor confiar mais em previsões próximas à faixa dos dados; quanto mais longe da região observada, maior a incerteza do modelo linear.

Passo 8

Resumo final dos resultados num formato direto que você pode copiar para a prova:
  • Coeficientes exatos: a=\dfrac{17}{35}, b=\dfrac{62}{15}.
  • Modelo ajustado: \varphi(t)=\dfrac{17}{35}t+\dfrac{62}{15}.
  • Estimativa em t=15: \varphi(15)=\dfrac{1199}{105}\approx 11{,}4190 mg/L.

Resposta

\varphi(t)=\dfrac{17}{35}\,t+\dfrac{62}{15}\approx0{,}485714\,t+4{,}133333
\varphi(15)=\dfrac{1199}{105}\approx11{,}4190\\ \text{mg/L}

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