Qual é o menor número inteiro positivo N tal que \frac{N}{4}, \frac{N}{5}, \frac{N}{6} são números inteiros?
A) 420
B) 350
C) 210
D) 300 \quad E) 280

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o menor número inteiro positivo N tal que \dfrac{N}{4}, \dfrac{N}{5} e \dfrac{N}{6} sejam números inteiros.
Informações dadas:
  • Queremos um N>0.
  • As três frações \dfrac{N}{4}, \dfrac{N}{5}, \dfrac{N}{6} devem ser inteiras.

Passo 2

O que significa cada condição em linguagem de divisibilidade?
  • \dfrac{N}{4} inteiro significa 4\mid N.
  • \dfrac{N}{5} inteiro significa 5\mid N.
  • \dfrac{N}{6} inteiro significa 6\mid N.
Então precisamos do menor N>0 que seja múltiplo de 4, de 5 e de 6 ao mesmo tempo. O menor número com essa propriedade é o mínimo múltiplo comum desses três inteiros, ou seja, o mmc (least common multiple, LCM).

Passo 3

Como calcular o mmc de forma prática? Usando fatoração prima de cada número e tomando para cada primo a maior potência que aparece em qualquer fatoração.
Fatoraçõess:
  • 4 = 2^{2}.
  • 5 = 5 (ou seja, 5^1).
  • 6 = 2\cdot 3 = 2^{1}\cdot 3^{1}.
Agora para cada primo que aparece ( 2,3,5) tomamos a maior potência entre as fatorações:
  • para 2: maior potência é 2^{2} (vem de 4);
  • para 3: maior potência é 3^{1} (vem de 6);
  • para 5: maior potência é 5^{1} (vem de 5).
Portanto o mmc é
\mathrm{mmc}(4,5,6)=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{1}.

Passo 4

Calculemos o produto:
2^{2}\cdot 3\cdot 5 = 4\cdot 3\cdot 5 = 12\cdot 5 = 60.
Logo o menor N que satisfaz todas as divisibilidades é N=60. (Isto significa que todas as soluções são múltiplos de 60: 60,120,180,240,300,\dots.)

Passo 5

O enunciado é de múltipla escolha com as opções dadas. A opção com 60 não aparece, então entre as alternativas listadas precisamos escolher a menor que satisfaça as três divisibilidades. Verificando as alternativas (pegando cada número e testando se é múltiplo de 4,5,6):
  • \,210: não é múltiplo de 4 (logo descarta-se).
  • \,280: é múltiplo de 4 ( 280/4=70) mas não é múltiplo de 5 ( 280/5=56 não inteiro). Descarta-se.
  • \,300: testar: \frac{300}{4}=75,\qquad \frac{300}{5}=60,\qquad \frac{300}{6}=50,todas inteiras. Portanto 300 satisfaz as três condições.
  • As alternativas maiores que 300 também podem satisfazer, por exemplo 420 satisfaz, mas queremos a menor entre as alternativas. Como 300 já funciona e é menor que 420, escolhemos 300.
Observação rápida: como vimos, todas as soluções são múltiplos de 60. Entre as alternativas fornecidas, os múltiplos de 60 presentes são 300 e 420; o menor deles é 300.

Resposta

D) 300

Exercícios relacionados