Qual é o menor número inteiro positivo
tal que
são números inteiros?
A) 420
B) 350
C) 210
D)
E) 280
A) 420
B) 350
C) 210
D)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o menor número inteiro positivo
tal que
,
e
sejam números inteiros.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Queremos um
. - As três frações
, , devem ser inteiras.
Passo 2
O que significa cada condição em linguagem de divisibilidade?
-
inteiro significa . -
inteiro significa . -
inteiro significa .
Então precisamos do menor
que seja múltiplo de
, de
e de
ao mesmo tempo. O menor número com essa propriedade é o mínimo múltiplo comum desses três inteiros, ou seja, o mmc (least common multiple, LCM).
Passo 3
Como calcular o mmc de forma prática? Usando fatoração prima de cada número e tomando para cada primo a maior potência que aparece em qualquer fatoração.
Fatoraçõess:
-
. -
(ou seja, ). -
.
Agora para cada primo que aparece (
) tomamos a maior potência entre as fatorações:
- para
: maior potência é (vem de ); - para
: maior potência é (vem de ); - para
: maior potência é (vem de ).
Portanto o mmc é
Passo 4
Calculemos o produto:
Logo o menor
que satisfaz todas as divisibilidades é
. (Isto significa que todas as soluções são múltiplos de
:
.)
Passo 5
O enunciado é de múltipla escolha com as opções dadas. A opção com
não aparece, então entre as alternativas listadas precisamos escolher a menor que satisfaça as três divisibilidades. Verificando as alternativas (pegando cada número e testando se é múltiplo de
):
-
não é múltiplo de (logo descarta-se). -
é múltiplo de ( ) mas não é múltiplo de ( não inteiro). Descarta-se. -
testar: todas inteiras. Portanto satisfaz as três condições. - As alternativas maiores que
também podem satisfazer, por exemplo satisfaz, mas queremos a menor entre as alternativas. Como já funciona e é menor que , escolhemos .
Observação rápida: como vimos, todas as soluções são múltiplos de
. Entre as alternativas fornecidas, os múltiplos de
presentes são
e
; o menor deles é
.
Resposta
D)