A tabela abaixo indica a idade x (em anos) e o valor y do aluguel (em reais) de 8 casas. Considerando o ajuste de um modelo de regresssio linear simples, calcule (utilizar 4 casas decimais):
cc hline $x$ & $y$ hline 26 & 2059 31 & 2025 37 & 1993 hline 49 & 1944 21 & 2074 45 & 1990 14 & 2079 19 & 2072 hline square
26 2059
31 2025
37 1993
49 1944
21 2074
45 1990
14 2079
19 2072
O coeficiente linear estimado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma tabela com a idade das casas ( x) e o valor do aluguel ( y) de 8 casas diferentes. Nosso objetivo aqui é ajustar um modelo de regressão linear simples para encontrar o coeficiente linear estimado, que basicamente nos diz o valor do aluguel quando a idade da casa é zero. Para resolver isso, vamos precisar calcular algumas médias e usar as fórmulas da regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das idades ( barx) e a média dos valores dos aluguéis ( bary). Isso é essencial porque as fórmulas da regressão linear usam essas médias para determinar a relação entre x e y.
barx = 26 + 31 + 37 + 49 + 21 + 45 + 14 + 198 = 2428 = 30,25
bary = 2059 + 2025 + 1993 + 1944 + 2074 + 1990 + 2079 + 20728 = 161868 = 2023,25

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente de inclinação ( beta1). Esse coeficiente nos mostra como o valor do aluguel muda em relação à idade da casa. A fórmula para beta1 é:
beta1 = sum(xi - barx)(yi - bary)sum(xi - barx)^2
Vamos calcular cada parte:
ccc xi & yi & (xi - barx)(yi - bary) hline 26 & 2059 & (26 - 30,25)(2059 - 2023,25) = (-4,25)(35,75) = -152,1875 31 & 2025 & (31 - 30,25)(2025 - 2023,25) = (0,75)(1,75) = 1,3125 37 & 1993 & (37 - 30,25)(1993 - 2023,25) = (6,75)(-30,25) = -204,1875 49 & 1944 & (49 - 30,25)(1944 - 2023,25) = (18,75)(-79,25) = -1484,6875 21 & 2074 & (21 - 30,25)(2074 - 2023,25) = (-9,25)(50,75) = -469,6875 45 & 1990 & (45 - 30,25)(1990 - 2023,25) = (14,75)(-33,25) = -490,1875 14 & 2079 & (14 - 30,25)(2079 - 2023,25) = (-16,25)(55,75) = -905,6875 19 & 2072 & (19 - 30,25)(2072 - 2023,25) = (-11,25)(48,75) = -546,09375 hline
Somando esses valores:
sum(xi - barx)(yi - bary) = -152,1875 + 1,3125 - 204,1875 - 1484,6875 - 469,6875 - 490,1875 - 905,6875 - 546,09375 = -4352,75
Agora, vamos calcular sum(xi - barx)^2:
cc xi & (xi - barx)^2 hline 26 & (-4,25)^2 = 18,0625 31 & (0,75)^2 = 0,5625 37 & (6,75)^2 = 45,5625 49 & (18,75)^2 = 351,5625 21 & (-9,25)^2 = 85,5625 45 & (14,75)^2 = 217,5625 14 & (-16,25)^2 = 264,0625 19 & (-11,25)^2 = 126,5625 hline
Somando esses valores:
sum(xi - barx)^2 = 18,0625 + 0,5625 + 45,5625 + 351,5625 + 85,5625 + 217,5625 + 264,0625 + 126,5625 = 1108,5
Então,
beta1 = -4352,751108,5 approx -3,9253

Passo 4

Finalmente, vamos calcular o coeficiente linear ( beta0). Esse coeficiente representa o valor do aluguel quando a idade da casa é zero. A fórmula para beta0 é:
beta0 = bary - beta1 cdot barx
Substituindo os valores que já calculamos:
beta0 = 2023,25 - (-3,9253) cdot 30,25 approx 2023,25 + 118,620825 = 2141,8708

Resposta

O coeficiente linear estimado é boxed2141,8708.

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