Um engenheiro de tráfego deseja estudar se o consumo de combustível de um automóvel está relacionado com o peso do mesmo. Para tal, observou uma amostra com oito automóveis novos que trafegaram por uma rodovia do Estado do Paraná na última semana. O peso (em centenas de kg) e as taxas de consumo de combustível (em km / L ) dos automóveis observados são apresentados na tabela abaixo.
Consumo 14 6 12 9 12 13 6 9
Peso 16 23 17 24 19 17 25 25
Obtenha o coeficiente de correlação de Pearson entre as variáveis apresentadas. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Resposta: |c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline Consumo & 14 & 6 & 12 & 9 & 12 & 13 & 6 & 9 hline Peso & 16 & 23 & 17 & 24 & 19 & 17 & 25 & 25 hline
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Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve encontrar o coeficiente de correlação de Pearson entre o consumo de combustível e o peso de automóveis. Isso está relacionado ao conteúdo de Estatística, mais especificamente à análise de correlação. Para resolver, vamos precisar dos dados das duas variáveis e aplicar a fórmula do coeficiente de Pearson.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados fornecidos:
  • Consumo (km/L): 14, 6, 12, 9, 12, 13, 6, 9
  • Peso (centenas de kg): 16, 23, 17, 24, 19, 17, 25, 25

Passo 3

Vamos organizar esses dados em uma tabela para facilitar os cálculos:
|c|c|c| hline Automóvel & Consumo (Y) & Peso (X) hline 1 & 14 & 16 2 & 6 & 23 3 & 12 & 17 4 & 9 & 24 5 & 12 & 19 6 & 13 & 17 7 & 6 & 25 8 & 9 & 25 hline ó

Passo 4

Para calcular o coeficiente de correlação de Pearson, precisamos calcular alguns somatórios:
  • Sigma X: soma dos pesos
  • Sigma Y: soma dos consumos
  • Sigma XY: soma dos produtos de X e Y
  • Sigma X^2: soma dos quadrados dos pesos
  • Sigma Y^2: soma dos quadrados dos consumos

Passo 5

Vamos calcular cada um desses somatórios:
Sigma X &= 16 + 23 + 17 + 24 + 19 + 17 + 25 + 25 = 166 Sigma Y &= 14 + 6 + 12 + 9 + 12 + 13 + 6 + 9 = 81 Sigma XY &= (16 times 14) + (23 times 6) + (17 times 12) + (24 times 9) + (19 times 12) + (17 times 13) + (25 times 6) + (25 times 9) &= 224 + 138 + 204 + 216 + 228 + 221 + 150 + 225 = 1616 Sigma X^2 &= 16^2 + 23^2 + 17^2 + 24^2 + 19^2 + 17^2 + 25^2 + 25^2 &= 256 + 529 + 289 + 576 + 361 + 289 + 625 + 625 = 3510 Sigma Y^2 &= 14^2 + 6^2 + 12^2 + 9^2 + 12^2 + 13^2 + 6^2 + 9^2 &= 196 + 36 + 144 + 81 + 144 + 169 + 36 + 81 = 967

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson:
r = n Sigma XY - (Sigma X)(Sigma Y)raiz[n Sigma X^2 - (Sigma X)^2][n Sigma Y^2 - (Sigma Y)^2]
Onde $ n = 8 $ (número de automóveis).

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
r = 8 times 1616 - 166 times 81raiz[8 times 3510 - 166^2][8 times 967 - 81^2]

Passo 8

Calculando o numerador:
8 times 1616 = 12928 166 times 81 = 13446 Numerador = 12928 - 13446 = -518

Passo 9

Calculando o primeiro termo do denominador:
8 times 3510 = 28080 166^2 = 27556 [8 times 3510 - 166^2] = 28080 - 27556 = 524
Calculando o segundo termo do denominador:
8 times 967 = 7736 81^2 = 6561 [8 times 967 - 81^2] = 7736 - 6561 = 1175

Passo 10

Agora, calculando a raiz quadrada do produto dos dois termos:
raiz524 times 1175 = raiz615500 approx 784.55

Passo 11

Finalmente, calculamos $ r $:
r

Resposta

O coeficiente de correlação de Pearson entre consumo de combustível e peso do automóvel é aproximadamente -0,6602.

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