A tabela abaixo indica a idade x (em anos) e o valor y do aluguel (em reais) de 8 casas. Considerando o ajuste de um modelo de regressäo linear simples, calcule (utilizar 4 casas decimais):
\mathbf{x} \mathbf{y}
26 2059
31 2025
37 1993
49 1944
21 2074
45 1990
14 2079
19 2072
a. O coeficiente de correlação de Pearson: \square
b. O coeficiente linear estimado: \square
c. O coeficiente angular estimado: \square
d. O valor estimado do aluguel para uma casa com 25 anos: \square

Passo 1

Temos n=8 pares (x_i,y_i) com
\{(26,2059),\,(31,2025),\,(37,1993),\,(49,1944),\,(21,2074),\,(45,1990),\,(14,2079),\,(19,2072)\}.
Queremos ajustar o modelo de regressão linear simples
y = b_0 + b_1 x
e calcular:
a. coeficiente de correlação de Pearson r,
b. coeficiente linear estimado b_0,
c. coeficiente angular estimado b_1,
d. predição \hat y em x=25.

Passo 2

Calcular as médias amostrais
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\quad \bar y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i.
Somando os x_i e os y_i temos
\sum x_i = 242,\quad \sum y_i =16236,
logo
\bar x = \frac{242}{8}=30{,}25,\quad \bar y = \frac{16236}{8}=2029{,}5.

Passo 3

Calcular as somas de quadrados e produtos centrados:
S_{xx}=\sum (x_i-\bar x)^2,\quad S_{yy}=\sum (y_i-\bar y)^2,\quad S_{xy}=\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y).
Usando as fórmulas equivalentes
S_{xx} = \sum x_i^2 - n\,\bar x^2,\quad S_{yy} = \sum y_i^2 - n\,\bar y^2,\quad S_{xy} = \sum x_i y_i - n\,\bar x\,\bar y,
obtemos
\sum x_i^2 = 8430,\quad \sum y_i^2 =32968292,\quad \sum x_i y_i =486884,
n\,\bar x^2 =8\cdot(30{,}25)^2 =7320{,}5,\quad n\,\bar y^2 =8\cdot(2029{,}5)^2 =32950962,
portanto
S_{xx} =8430 -7320{,}5 =1109{,}5,
S_{yy} =32968292 -32950962 =17330,
S_{xy} =486884 -8\cdot30{,}25\cdot2029{,}5 =-4255.

Passo 4

O estimador de inclinação (coeficiente angular) é
b_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{-4255}{1109{,}5}\approx -3{,}8351.
O estimador do intercepto (coeficiente linear) é
b_0 = \bar y - b_1\,\bar x =2029{,}5 -(-3{,}8351)\cdot30{,}25 \approx2145{,}5106.

Passo 5

O coeficiente de correlação de Pearson é
r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} = \frac{-4255}{\sqrt{1109{,}5\cdot17330}} \approx -0{,}9706.

Passo 6

Para x=25, a predição é
\hat y = b_0 + b_1\cdot25 \approx2145{,}5106 +(-3{,}8351)\times25 \approx2049{,}6341.

Resposta

a. r \approx -0{,}9706
b. b_0 \approx 2145{,}5106
c. b_1 \approx -3{,}8351
d. \hat y(25) \approx 2049{,}6341

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