Um experimento foi realizado com o objetivo de se avaliar o desempenho de uma máquina de grande porte utilizada em uma indústria localizada em Curitiba. O técnico responsável por avaliar a máquina utilizou uma mistura de óleo diesel e gás, derivados de materiais destilados orgânicos e, na sequência, observou a capacidade da máquina, em cavalo-vapor (HP), em relaçăo à (oito) velocidades distintas, medidas em rotações por minuto (rpm). Os dados obtidos no referido experimento são apresentados na tabela abaixo.
Capacidade 33,1 70,5 65,8 57.4
32,1 62 30,5 61,8
Velocidade 10 24 24 19
11 24 10 23
Ajuste um modelo de regressão linear simples considerando as variáveis apresentadas e calcule o coeficiente de determinação ajustado do modelo obtido. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado nos dá oito pares de observações de velocidade x (rpm) e capacidade y (HP), e pede para ajustar um modelo de regressão linear simples
y = \beta_{0} + \beta_{1}\,x + \varepsilon
e, a partir dele, calcular o coeficiente de determinação ajustado.

Passo 2

Primeiro, calculamos as médias amostrais
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \qquad\text{e}\qquad \bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i
com n=8. Das somas
\sum x_i = 145, \quad \sum y_i = 413{,}2
vem
\bar{x} = \frac{145}{8} = 18{,}125, \quad \bar{y} = \frac{413{,}2}{8} = 51{,}65.

Passo 3

Em seguida, construímos
S_{xx} = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2, \quad S_{xy} = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}).
Numericamente obtivemos
S_{xx} = 310{,}875, \quad S_{xy} = 771{,}050.
Daí os estimadores dos coeficientes são
\hat\beta_{1} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \approx 2{,}4803, \quad \hat\beta_{0} = \bar{y} - \hat\beta_{1}\,\bar{x} \approx 6{,}6953.

Passo 4

Calculamos agora a soma total dos quadrados
\mathrm{SST} = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2 \approx 1973{,}08
e a soma dos quadrados da regressão
\mathrm{SSR} = \hat\beta_{1}\,S_{xy} \approx 1912{,}42.
Logo a soma dos quadrados dos resíduos é
\mathrm{SSE} = \mathrm{SST} - \mathrm{SSR} \approx 60{,}66
e o coeficiente de determinação
R^2 = 1 - \frac{\mathrm{SSE}}{\mathrm{SST}} \approx 0{,}9693.

Passo 5

Para a regressão simples ( p=1), o coeficiente de determinação ajustado é
R^2_{\text{aj}} \;=\; 1 \;-\;(1 - R^2)\,\frac{n-1}{n-p-1} \;=\; 1 - (1 - R^2)\,\frac{8-1}{8-1-1} \;\approx\; 1 - (0{,}0307)\,\frac{7}{6} \;\approx\; 0{,}9641.

Resposta

0,9641

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