A tabela abaixo mostra a distribuição do índice CBR do solo em 40 pontos de um aterro:
Classe (CBR) Fi
5ㅣ 10 4
10ト 15 10
15 - 20 18
20 ト 25 8
a) Estime a média do índice CBR.
b) Estime a classe mediana.
c) Qual é a classe modal?

Passo 1

O enunciado fornece a distribuição do índice CBR em 40 pontos, com classes e frequências absolutas f_i. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (peguei estes números da tabela enviada):
  • Classe \,5-10: f_1=4
  • Classe \,10-15: f_2=10
  • Classe \,15-20: f_3=18
  • Classe \,20-25: f_4=8
Total de observações: \sum f_i = 4+10+18+8 = 40.
O enunciado pede:
(a) Estimar a média do índice CBR.
(b) Estimar a classe mediana.
(c) Indicar a classe modal.

Passo 2

Como estimar a média para dados agrupados — ideia e fórmula (aula rápida):
  • Para dados agrupados em classes, aproxima-se cada observação pela marca de classe (ponto médio) da sua classe.
  • Denotando x_i a marca de classe da i-ésima classe e f_i sua frequência, a média estimada é
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}.
  • Aqui \sum f_i é o número total de observações (aqui 40).
Primeiro calculemos as marcas de classe x_i (meio de cada intervalo):
x_1=\frac{5+10}{2}=7,5,\quad x_2=\frac{10+15}{2}=12,5,
x_3=\frac{15+20}{2}=17,5,\quad x_4=\frac{20+25}{2}=22,5.

Passo 3

Calcular f_i x_i para cada classe e somar (vou mostrar cada produto para você poder repetir na prova sem calculadora):
f_1 x_1 = 4\cdot 7,5 = 30,
f_2 x_2 = 10\cdot 12,5 = 125,
f_3 x_3 = 18\cdot 17,5 = 315,
f_4 x_4 = 8\cdot 22,5 = 180.
Soma dos produtos:
\sum f_i x_i = 30+125+315+180 = 650.
Agora a média estimada:
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=\frac{650}{40}=16,25.
Interpretação curta: a média estimada do índice CBR no conjunto é \,16,25.

Passo 4

Como achar a classe mediana — ideia e procedimento (passo a passo):
  • A mediana é o valor central quando as observações estão ordenadas. Para N observações, a posição mediana é N/2.
  • Para dados agrupados, localiza-se a classe que contém a observação de ordem \,N/2 (e a (N/2+1)-ésima se N é par).
  • Aqui N=40, então N/2=20. Precisamos ver em qual classe cai a 20.ª observação (e a 21.ª).
Calcule as frequências acumuladas F_i:
F_1 = 4,\quad F_2 = 4+10=14,\quad F_3 = 14+18=32,\quad F_4 = 32+8=40.
As posições 20 e 21 estão na classe cujo F ultrapassa essas posições pela primeira vez: isso acontece em F_3=32. Portanto, a classe que contém a mediana é a classe \,15-20.
Observação adicional (útil para prova): se quiser estimar numericamente a mediana por interpolação dentro da classe (opcional), usa-se a fórmula
M \approx L + \frac{\frac{N}{2}-F_b}{f_m}\cdot h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe mediana,
  • F_b é a frequência acumulada antes da classe mediana,
  • f_m é a frequência da classe mediana,
  • h é a amplitude da classe.
Aplicando aqui: L=15, F_b=14 (acumulado antes da classe 15-20), f_m=18, h=5. Logo
M \approx 15 + \frac{20-14}{18}\cdot 5 = 15 + \frac{6}{18}\cdot 5 = 15 + \frac{1}{3}\cdot 5 = 15 + 1{,}666\ldots \approx 16{,}67.
Mas a pergunta pedia a classe mediana; a resposta é \,15-20.

Passo 5

Como identificar a classe modal — ideia e resposta:
  • A classe modal é a classe com maior frequência absoluta f_i.
  • Olhando as frequências dadas: 4,\,10,\,18,\,8. A maior é 18, que corresponde à classe \,15-20.
  • Portanto a classe modal é \,15-20.

Resposta

(a) \bar{x}=16,25
(b) 15-20
(c) 15-20

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