A tabela abaixo mostra a distribuição do índice CBR do solo em 40 pontos de um aterro:
Classe (CBR)
Fi
5ㅣ 10
4
10ト 15
10
15 - 20
18
20 ト 25
8
a) Estime a média do índice CBR.
b) Estime a classe mediana.
c) Qual é a classe modal?
| Classe (CBR) | Fi |
| 5ㅣ 10 | 4 |
| 10ト 15 | 10 |
| 15 - 20 | 18 |
| 20 ト 25 | 8 |
b) Estime a classe mediana.
c) Qual é a classe modal?
Passo 1
O enunciado fornece a distribuição do índice CBR em
pontos, com classes e frequências absolutas
. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (peguei estes números da tabela enviada):
- Classe
: - Classe
: - Classe
: - Classe
:
Total de observações:
.
O enunciado pede:
(a) Estimar a média do índice CBR.
(b) Estimar a classe mediana.
(c) Indicar a classe modal.
(a) Estimar a média do índice CBR.
(b) Estimar a classe mediana.
(c) Indicar a classe modal.
Passo 2
Como estimar a média para dados agrupados — ideia e fórmula (aula rápida):
- Para dados agrupados em classes, aproxima-se cada observação pela marca de classe (ponto médio) da sua classe.
- Denotando
a marca de classe da -ésima classe e sua frequência, a média estimada é
- Aqui
é o número total de observações (aqui ).
Primeiro calculemos as marcas de classe
(meio de cada intervalo):
Passo 3
Calcular
para cada classe e somar (vou mostrar cada produto para você poder repetir na prova sem calculadora):
Soma dos produtos:
Agora a média estimada:
Interpretação curta: a média estimada do índice CBR no conjunto é
.
Passo 4
Como achar a classe mediana — ideia e procedimento (passo a passo):
- A mediana é o valor central quando as observações estão ordenadas. Para
observações, a posição mediana é . - Para dados agrupados, localiza-se a classe que contém a observação de ordem
(e a -ésima se é par). - Aqui
, então . Precisamos ver em qual classe cai a 20.ª observação (e a 21.ª).
Calcule as frequências acumuladas
:
As posições
e
estão na classe cujo
ultrapassa essas posições pela primeira vez: isso acontece em
. Portanto, a classe que contém a mediana é a classe
.
Observação adicional (útil para prova): se quiser estimar numericamente a mediana por interpolação dentro da classe (opcional), usa-se a fórmula
onde:
-
é o limite inferior da classe mediana, -
é a frequência acumulada antes da classe mediana, -
é a frequência da classe mediana, -
é a amplitude da classe.
Aplicando aqui:
,
(acumulado antes da classe
),
,
. Logo
Mas a pergunta pedia a classe mediana; a resposta é
.
Passo 5
Como identificar a classe modal — ideia e resposta:
- A classe modal é a classe com maior frequência absoluta
. - Olhando as frequências dadas:
. A maior é , que corresponde à classe . - Portanto a classe modal é
.
Resposta
(a)
(b)
(c)