Um engenheiro está analisando a resistência à compressão (em MPa) de 10 corpos de prova de concreto, retirados de uma mesma betoneira. Os resultados obtidos foram:
Amostra: 32, 35, 28, 40, 37, 29, 31, 34, 33, 41

Calcule:

a) A resistência média do lote.
b) A mediana e a moda.
c) O desvio padrão e o coeficiente de variação.
d) Com base no coeficiente de variação, classifique a homogeneidade do concreto (Dica: \mathrm{CV}< 10% é considerado homogêneo para este tipo de ensaio).

Passo 1

O enunciado fornece a resistência à compressão (em MPa) de n=10 corpos de prova retirados da mesma betoneira:
32,\;35,\;28,\;40,\;37,\;29,\;31,\;34,\;33,\;41.
O que é pedido:
a) Calcular a resistência média do lote.
b) Calcular a mediana e a moda.
c) Calcular o desvio padrão e o coeficiente de variação.
d) Com base no coeficiente de variação, classificar a homogeneidade do concreto (dica: \mathrm{CV}<10\% é considerado homogêneo).

Passo 2

Escolha do método e fórmulas que vamos usar (de forma bem didática).
  • Para a média aritmética usamos a fórmula
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações e n é o número de observações.
  • Para a mediana: ordenar os dados. Se n for par, a mediana é a média dos dois valores centrais.
  • Para a moda: é o valor que aparece com maior frequência; se nenhum valor se repete, diz-se que não há moda (amodal).
  • Para o desvio padrão: como estamos com uma amostra de n=10 tirada do lote, usamos o desvio padrão amostral (estimator não viesado), cuja variância amostral é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2},
e o desvio padrão amostral é s=\sqrt{s^{2}}. Uso n-1 porque estamos estimando a variabilidade do lote a partir de uma amostra — isso corrige o viés da estimativa.
  • O coeficiente de variação é
\mathrm{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times100\%.
Agora aplicamos essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular a média \bar{x}.
Primeiro somar todas as observações:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 32+35+28+40+37+29+31+34+33+41 = 340.
Aplicando a fórmula da média:
\bar{x}=\frac{340}{10}=34\\ \text{MPa}.
Interpretação curta: em média as resistências ficaram em \,34\\ \text{MPa}.

Passo 4

Calcular a mediana.
Ordenando os dados em ordem crescente:
28,\;29,\;31,\;32,\;33,\;34,\;35,\;37,\;40,\;41.
Como n=10 é par, a mediana é a média dos 5.º e 6.º valores (ou seja, dos valores nas posições n/2 e n/2+1):
\text{mediana}=\frac{33+34}{2}=\frac{67}{2}=33,5\\ \text{MPa}.

Passo 5

Determinar a moda.
Observando os valores ordenados, nenhum valor se repete — todos aparecem uma única vez. Logo:
\text{moda: não existe (amodal)}.ã

Passo 6

Calcular o desvio padrão amostral s — passo a passo das somas dos quadrados das diferenças.
Já temos \bar{x}=34. Para cada x_i calculamos (x_i-\bar{x})^{2}:
\begin{aligned} (32-34)^{2}=(-2)^{2}=4,\\\ (35-34)^{2}=1^{2}=1,\\\ (28-34)^{2}=(-6)^{2}=36,\\\ (40-34)^{2}=6^{2}=36,\\\ (37-34)^{2}=3^{2}=9,\\\ (29-34)^{2}=(-5)^{2}=25,\\\ (31-34)^{2}=(-3)^{2}=9,\\\ (34-34)^{2}=0^{2}=0,\\\ (33-34)^{2}=(-1)^{2}=1,\\\ (41-34)^{2}=7^{2}=49. \end{aligned}
Somando todas essas quantidades:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^{2}=4+1+36+36+9+25+9+0+1+49=170.

Passo 7

Calcular a variância e o desvio padrão amostral.
A variância amostral é
s^{2}=\frac{170}{n-1}=\frac{170}{9}\approx18,888\ldots
O desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{\frac{170}{9}}=\frac{\sqrt{170}}{3}\approx4,346\\ \text{MPa}.
Interpretação: em média as observações desviam da média cerca de 4,35\\ \text{MPa}.

Passo 8

Calcular o coeficiente de variação e classificar a homogeneidade.
Aplicando a fórmula
\mathrm{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times100\%=\frac{4,346}{34}\times100\%\approx12,78\%.
Comparando com o critério do enunciado (homogêneo se \mathrm{CV}<10\%): como \mathrm{CV}\approx12,78\%>10\%, o lote NÃO é considerado homogêneo segundo esse critério. Em palavras: há variabilidade moderada a alta entre as amostras.

Resposta

a) \bar{x}=34\\ \text{MPa}
b) mediana =33,5\\ \text{MPa}; moda: não existe (amodal)
c) s\approx4,346\\ \text{MPa}; \mathrm{CV}\approx12,78\%
d) Classificação: não homogêneo (pois \mathrm{CV}>10\%)

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