Um engenheiro está analisando a resistência à compressão (em MPa) de 10 corpos de prova de concreto, retirados de uma mesma betoneira. Os resultados obtidos foram:
Amostra: 32, 35, 28, 40, 37, 29, 31, 34, 33, 41
Calcule:
a) A resistência média do lote.
b) A mediana e a moda.
c) O desvio padrão e o coeficiente de variação.
d) Com base no coeficiente de variação, classifique a homogeneidade do concreto (Dica:
10% é considerado homogêneo para este tipo de ensaio).
Amostra: 32, 35, 28, 40, 37, 29, 31, 34, 33, 41
b) A mediana e a moda.
c) O desvio padrão e o coeficiente de variação.
d) Com base no coeficiente de variação, classifique a homogeneidade do concreto (Dica:
Passo 1
O enunciado fornece a resistência à compressão (em MPa) de
corpos de prova retirados da mesma betoneira:
O que é pedido:
a) Calcular a resistência média do lote.
b) Calcular a mediana e a moda.
c) Calcular o desvio padrão e o coeficiente de variação.
d) Com base no coeficiente de variação, classificar a homogeneidade do concreto (dica: é considerado homogêneo).
a) Calcular a resistência média do lote.
b) Calcular a mediana e a moda.
c) Calcular o desvio padrão e o coeficiente de variação.
d) Com base no coeficiente de variação, classificar a homogeneidade do concreto (dica:
Passo 2
Escolha do método e fórmulas que vamos usar (de forma bem didática).
- Para a média aritmética usamos a fórmula
onde
são as observações e
é o número de observações.
- Para a mediana: ordenar os dados. Se
for par, a mediana é a média dos dois valores centrais. - Para a moda: é o valor que aparece com maior frequência; se nenhum valor se repete, diz-se que não há moda (amodal).
- Para o desvio padrão: como estamos com uma amostra de
tirada do lote, usamos o desvio padrão amostral (estimator não viesado), cuja variância amostral é
e o desvio padrão amostral é
. Uso
porque estamos estimando a variabilidade do lote a partir de uma amostra — isso corrige o viés da estimativa.
- O coeficiente de variação é
Agora aplicamos essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Calcular a média
.
Primeiro somar todas as observações:
Primeiro somar todas as observações:
Aplicando a fórmula da média:
Interpretação curta: em média as resistências ficaram em
.
Passo 4
Calcular a mediana.
Ordenando os dados em ordem crescente:
Ordenando os dados em ordem crescente:
Como
é par, a mediana é a média dos 5.º e 6.º valores (ou seja, dos valores nas posições
e
):
Passo 5
Determinar a moda.
Observando os valores ordenados, nenhum valor se repete — todos aparecem uma única vez. Logo:
Observando os valores ordenados, nenhum valor se repete — todos aparecem uma única vez. Logo:
Passo 6
Calcular o desvio padrão amostral
— passo a passo das somas dos quadrados das diferenças.
Já temos . Para cada
calculamos
:
Já temos
Somando todas essas quantidades:
Passo 7
Calcular a variância e o desvio padrão amostral.
A variância amostral é
A variância amostral é
O desvio padrão amostral é
Interpretação: em média as observações desviam da média cerca de
.
Passo 8
Calcular o coeficiente de variação e classificar a homogeneidade.
Aplicando a fórmula
Aplicando a fórmula
Comparando com o critério do enunciado (homogêneo se
): como
, o lote NÃO é considerado homogêneo segundo esse critério. Em palavras: há variabilidade moderada a alta entre as amostras.
Resposta
a)
b) mediana ; moda: não existe (amodal)
c) ;
d) Classificação: não homogêneo (pois )
b) mediana
c)
d) Classificação: não homogêneo (pois