A tabela fornece os valores de uma função obtidos experimentalmente. Use-os para estimar integral3^9 f(x) d x utilizando três subintervalos iguais com pontos médios. Se for sabido que a função é decrescente, você pode dizer se suas estimativas são menores ou maiores que o valor exato da integral?
x 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -3,4 -2,1 -0,6 0,3 0,9 1,4 1,8

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
integral3^9f(x),dx
usando três subintervalos de mesmo comprimento com o método dos pontos médios. Para isso, vamos precisar da definição de soma de Riemann pelo ponto médio: em cada subintervalo [xi,xi+1] de largura De<a x, aproximamos
integralxi^xi+1f(x),dx approx fl(mir),De<a x,
onde mi=(xi+xi+1)/2 é o ponto médio.

Passo 2

O intervalo total é de 3 a 9, de comprimento 6. Como queremos três subintervalos iguais, cada um tem
De<a x=9-33=2
Os subintervalos são [3,5], [5,7] e [7,9]. Seus pontos médios são
m1=4, m2=6, m3=8

Passo 3

Da tabela, extraímos
f(4)=-2,1, f(6)=0,3, f(8)=1,4
Pela fórmula da soma de Riemann pelo ponto médio, a aproximação é
integral3^9f(x),dx approx sumi=1^3f(mi),De<a x =2l(f(4)+f(6)+f(8)r)

Passo 4

Substituindo os valores,
2l(-2,1 + 0,3 + 1,4r) =2l(-2,1 + 1,7r) =2(-0,4) =-0,8
Logo,
integral3^9f(x),dx approx -0,8

Passo 5

Se sabemos apenas que f é decrescente, em cada subintervalo temos
f(xi);>=;f(mi);>=;f(xi+1),
o que implica que a soma pelo ponto médio fica entre a soma de retângulos à esquerda e à direita. Como para função decrescente a soma à esquerda é um sobrestima local e a soma à direita é uma subestima local, a soma pelo ponto médio fica entre esses dois valores, mas não há como afirmar, só com monotonicidade, se ela é maior ou menor que o valor exato da integral (até porque f muda de sinal neste intervalo).

Resposta

integral3^9f(x),dxapprox -0,8
Não se pode afirmar, apenas com o fato de f ser decrescente, se essa aproximação é um sobrestima ou uma subestima da integral exata.

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