A tabela fornece os valores de uma função obtidos experimentalmente. Use-os para estimar
utilizando três subintervalos iguais com pontos médios. Se for sabido que a função é decrescente, você pode dizer se suas estimativas são menores ou maiores que o valor exato da integral?
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3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
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0,3 | 0,9 | 1,4 | 1,8 |
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando três subintervalos de mesmo comprimento com o método dos pontos médios. Para isso, vamos precisar da definição de soma de Riemann pelo ponto médio: em cada subintervalo
de largura
, aproximamos
onde
é o ponto médio.
Passo 2
O intervalo total é de
a
, de comprimento
. Como queremos três subintervalos iguais, cada um tem
Os subintervalos são
,
e
. Seus pontos médios são
Passo 3
Da tabela, extraímos
Pela fórmula da soma de Riemann pelo ponto médio, a aproximação é
Passo 4
Substituindo os valores,
Logo,
Passo 5
Se sabemos apenas que
é decrescente, em cada subintervalo temos
o que implica que a soma pelo ponto médio fica entre a soma de retângulos à esquerda e à direita. Como para função decrescente a soma à esquerda é um sobrestima local e a soma à direita é uma subestima local, a soma pelo ponto médio fica entre esses dois valores, mas não há como afirmar, só com monotonicidade, se ela é maior ou menor que o valor exato da integral (até porque
muda de sinal neste intervalo).
Resposta
Não se pode afirmar, apenas com o fato de
ser decrescente, se essa aproximação é um sobrestima ou uma subestima da integral exata.