A tabela 1 mostra a medida de corrente elétrica em um resistor R, ao variar a diferença de potencial a que ele é submetido.
V(V) \sigma_{V}(V) i(mA) \sigma_{i}(mA)
1,6 0,5 3,7 0,5
3,2 0,6 7,3 0,7
4,7 0,6 8,0 0,7
5,8 0,7 9,6 0,8
7,7 0,7 10,9 0,9
9,2 0,7 13,6 1,0
10,5 0,8 14,5 1,1
12,3 0,8 15,8 1,1
a) Faça um gráfico em papel milimetrado a partir dos dados da tabela 1, tendo a tensão como variável independente (eixo " X ").
b) Ajuste uma reta e obtenha sua equação do tipo i=a V+b.
c) Quais são as unidades do coeficiente angular " a " e do coeficiente linear " b "?
d) A partir do coeficiente angular " a ", calcule quanto vale a resistência R em Ohm ( \Omega ). *[\Omega]=\mathrm{V} / \mathrm{A}

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com medições da diferença de potencial V aplicada a um resistor e da corrente elétrica i que passa por ele, com as incertezas associadas. Os dados (peguei todos da tabela enviada) são:
  • Pontos (unidades originais):
    \,V=1{,}6\\ \mathrm{V},\\ \sigma_V=0{,}5\\ \mathrm{V};\\ i=3{,}7\\ \mathrm{mA},\\ \sigma_i=0{,}5\\ \mathrm{mA}.
    \,V=3{,}2\\ \mathrm{V},\\ \sigma_V=0{,}6\\ \mathrm{V};\\ i=7{,}3\\ \mathrm{mA},\\ \sigma_i=0{,}7\\ \mathrm{mA}.
    \,V=4{,}7\\ \mathrm{V},\\ \sigma_V=0{,}6\\ \mathrm{V};\\ i=8{,}0\\ \mathrm{mA},\\ \sigma_i=0{,}7\\ \mathrm{mA}.
    \,V=5{,}8\\ \mathrm{V},\\ \sigma_V=0{,}7\\ \mathrm{V};\\ i=9{,}6\\ \mathrm{mA},\\ \sigma_i=0{,}8\\ \mathrm{mA}.
    \,V=7{,}7\\ \mathrm{V},\\ \sigma_V=0{,}7\\ \mathrm{V};\\ i=10{,}9\\ \mathrm{mA},\\ \sigma_i=0{,}9\\ \mathrm{mA}.
    \,V=9{,}2\\ \mathrm{V},\\ \sigma_V=0{,}7\\ \mathrm{V};\\ i=13{,}6\\ \mathrm{mA},\\ \sigma_i=1{,}0\\ \mathrm{mA}.
    \,V=10{,}5\\ \mathrm{V},\\ \sigma_V=0{,}8\\ \mathrm{V};\\ i=14{,}5\\ \mathrm{mA},\\ \sigma_i=1{,}1\\ \mathrm{mA}.
    \,V=12{,}3\\ \mathrm{V},\\ \sigma_V=0{,}8\\ \mathrm{V};\\ i=15{,}8\\ \mathrm{mA},\\ \sigma_i=1{,}1\\ \mathrm{mA}.
O que o exercício pede:
a) Fazer o gráfico (tensão V no eixo X, corrente i no eixo Y).
b) Ajustar uma reta e obter a equação do tipo i=a\,V+b.
c) Informar as unidades de a e b.
d) A partir de a, calcular a resistência R em ohms, sabendo que [\Omega]=\mathrm{V}/\mathrm{A}.

Passo 2

Observação sobre método escolhido (sem entrar ainda nos cálculos): a tabela traz incertezas, então o ajuste “mais correto” seria um ajuste ponderado (weighted fit). Porém, esse ajuste exige contas mais trabalhosas à mão. Como o enunciado não exige explicitamente ajuste ponderado e você quer um procedimento aplicável na prova sem calculadora, vou usar o ajuste linear por mínimos quadrados não ponderado (regressão linear ordinária), que é o método padrão para ajustar uma reta por cálculo manual e que dá um resultado muito próximo do ajuste ponderado quando as incertezas não variam enormemente. Se for necessário depois, eu explico como faria o ajuste ponderado.
Vou descrever também COMO você deve fazer o gráfico em papel milimetrado:
  • Coloque V no eixo horizontal (eixo X) e i no eixo vertical (eixo Y).
  • Use escala que caiba todos os pontos com boa ocupação da folha (por exemplo X de 0 a 13\\ \mathrm{V} e Y de 0 a 18\\ \mathrm{mA}); marque os eixos com unidades.
  • Plote cada ponto (V,i) (use as coordenadas da tabela, em mA no eixo Y).
  • Para traçar a reta ajustada (se você tiver calculado a e b), basta calcular dois pontos da reta (por exemplo para V=0 e V=12 ou as duas extremidades do eixo) e unir por régua.
  • Se preferir ajuste “à vista”: trace a reta que melhor passa pelo centro dos pontos, tentando balancear o número de pontos acima/abaixo e as distâncias verticais; mas aqui eu calcularei a reta por mínimos quadrados e você poderá desenhá‑la com régua no gráfico.

Passo 3

Fórmulas e explicação didática do ajuste linear (mínimos quadrados ordinários)
  • Notação: denotar os pares de dados por (V_i,i_i) com i=1,\dots,n e tomar i em \mathrm{mA} (como na tabela) para facilitar o traçado. O ajuste linear procura a e b que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos verticais.
  • Fórmulas (para regressão ordinária):
n=\sum_{k=1}^{n}1,\qquad S_V=\sum_{k=1}^{n}V_k,\qquad S_i=\sum_{k=1}^{n}i_k,
S_{VV}=\sum_{k=1}^{n}V_k^2,\qquad S_{Vi}=\sum_{k=1}^{n}V_k i_k.
As estimativas da inclinação a (coeficiente angular, em \mathrm{mA/V} se i em \mathrm{mA}) e da ordenada b (em \mathrm{mA}) são:
a=\frac{n\,S_{Vi}-S_V\,S_i}{n\,S_{VV}-S_V^{2}}, \qquad b=\frac{S_i-a\,S_V}{n}.
  • Interpretação: a é quanto a corrente muda (em \mathrm{mA}) quando a tensão aumenta 1 volt; b é o valor da corrente prevista quando V=0 (ordenada na origem).

Passo 4

Cálculo dos somatórios necessários (faço na unidade prática de i em \mathrm{mA} para números mais fáceis; depois converto para SI)
  • Número de pontos: n=8.
  • Soma das tensões:
S_V=\sum V_k=1{,}6+3{,}2+4{,}7+5{,}8+7{,}7+9{,}2+10{,}5+12{,}3=55{,}0\\ \mathrm{V}.
  • Soma das correntes (em \mathrm{mA}):
S_i=\sum i_k=3{,}7+7{,}3+8{,}0+9{,}6+10{,}9+13{,}6+14{,}5+15{,}8=83{,}4\\ \mathrm{mA}.
  • Soma dos quadrados das tensões:
S_{VV}=\sum V_k^2=1{,}6^2+3{,}2^2+4{,}7^2+5{,}8^2+7{,}7^2+9{,}2^2+10{,}5^2+12{,}3^2=474{,}0\\ \mathrm{V}^2.
(veja: calcule cada quadrado e some; eu somei e cheguei em 474{,}0.)
  • Soma dos produtos V\cdot i (unidades \mathrm{V\cdot mA}):
S_{Vi}=\sum V_k i_k=1{,}6\cdot3{,}7+3{,}2\cdot7{,}3+\cdots+12{,}3\cdot15{,}8=678{,}2\\ \mathrm{V\cdot mA}.
(veja cálculo detalhado: somei os produtos individuais e obtive 678{,}2.)

Passo 5

Aplicação das fórmulas e cálculo de a e b (valores em unidades práticas: i em \mathrm{mA}, V em \mathrm{V})
  • Calcular a:
a=\frac{n\,S_{Vi}-S_V\,S_i}{n\,S_{VV}-S_V^{2}} =\frac{8\cdot678{,}2 - 55{,}0\cdot83{,}4}{8\cdot474{,}0 - 55{,}0^{2}}.
Compute passo a passo:
8\cdot678{,}2=5\,425{,}6,\qquad 55{,}0\cdot83{,}4=4\,587{,}0,
\text{numerador}=5\,425{,}6-4\,587{,}0=838{,}6.
8\cdot474{,}0=3\,792{,}0,\qquad 55{,}0^{2}=3\,025{,}0,
\text{denominador}=3\,792{,}0-3\,025{,}0=767{,}0.
Portanto
a=\frac{838{,}6}{767{,}0}=1{,}093695\\ \mathrm{mA/V}\\ (\text{aprox. }1{,}094\\ \mathrm{mA/V}).
  • Calcular b:
b=\frac{S_i-a\,S_V}{n}=\frac{83{,}4 - 1{,}093695\cdot55{,}0}{8}.
1{,}093695\cdot55{,}0=60{,}153225,\qquad 83{,}4-60{,}153225=23{,}246775.
b=\frac{23{,}246775}{8}=2{,}905846875\\ \mathrm{mA}\\ (\text{aprox. }2{,}906\\ \mathrm{mA}).
Logo a equação ajustada (com i em \mathrm{mA} e V em \mathrm{V}) é
\boxed{i=1{,}0937\,V+2{,}9058\\ }(\mathrm{mA}).
Se preferir escrever em unidades SI ( i em \mathrm{A}), divida coeficientes por 1000:
a=1{,}093695\\ \mathrm{mA/V}=1{,}093695\times10^{-3}\\ \mathrm{A/V}, \qquad b=2{,}905847\\ \mathrm{mA}=2{,}905847\times10^{-3}\\ \mathrm{A},
ou seja
i=(1{,}093695\times10^{-3})\,V + 2{,}905847\times10^{-3}\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Unidades dos coeficientes (explicação didática)
  • O coeficiente angular a é variação de corrente por variação de tensão. Como na equação usamos i em \mathrm{mA} e V em \mathrm{V}, a tem unidade \mathrm{mA/V}. Em unidades SI corresponde a \mathrm{A/V} (que é a unidade de condutância).
  • O coeficiente linear b é a ordenada na origem, ou seja corrente quando V=0; tem unidade de corrente, aqui \mathrm{mA} (ou \mathrm{A} em SI).

Passo 7

Cálculo da resistência R a partir do coeficiente angular a (fórmula e números)
  • Num resistor ôhmico, a Lei de Ohm relaciona V e I por V=R\,I. Na forma i=a\,V+b o coeficiente a é a condutância G aproximada ( G=\dfrac{1}{R}) se b for pequeno; portanto R=\dfrac{1}{a} tomando a em \mathrm{A/V}.
  • Converta a para \mathrm{A/V}:
a=1{,}093695\\ \mathrm{mA/V}=1{,}093695\times10^{-3}\\ \mathrm{A/V}.
  • Então
R=\frac{1}{a}=\frac{1}{1{,}093695\times10^{-3}}\\ \Omega \approx 914{,}6\\ \Omega.
Arredondando de forma prática, R\approx915\\ \Omega.

Resposta

(a) Gráfico: pontos (V,i) plotados em papel milimetrado com V no eixo X e i no eixo Y; traçar a reta de ajuste dada abaixo.
(b) \;i=1{,}0937\,V+2{,}9058\\ \mathrm{(mA)}.
(c) \;[a]=\mathrm{mA/V} (ou \mathrm{A/V} em SI); \;[b]=\mathrm{mA} (ou \mathrm{A} em SI).
(d) \;R=\dfrac{1}{a}\approx914{,}6\\ \Omega\\ (\approx915\\ \Omega).

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