A tabela 1 mostra a medida de corrente elétrica em um resistor
, ao variar a diferença de potencial a que ele é submetido.
| V(V) |
|
i(mA) |
|
|---|---|---|---|
| 1,6 | 0,5 | 3,7 | 0,5 |
| 3,2 | 0,6 | 7,3 | 0,7 |
| 4,7 | 0,6 | 8,0 | 0,7 |
| 5,8 | 0,7 | 9,6 | 0,8 |
| 7,7 | 0,7 | 10,9 | 0,9 |
| 9,2 | 0,7 | 13,6 | 1,0 |
| 10,5 | 0,8 | 14,5 | 1,1 |
| 12,3 | 0,8 | 15,8 | 1,1 |
a) Faça um gráfico em papel milimetrado a partir dos dados da tabela 1, tendo a tensão como variável independente (eixo "
").
b) Ajuste uma reta e obtenha sua equação do tipo .
c) Quais são as unidades do coeficiente angular " " e do coeficiente linear "
"?
d) A partir do coeficiente angular " ", calcule quanto vale a resistência
em Ohm (
).
b) Ajuste uma reta e obtenha sua equação do tipo
c) Quais são as unidades do coeficiente angular "
d) A partir do coeficiente angular "
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com medições da diferença de potencial
aplicada a um resistor e da corrente elétrica
que passa por ele, com as incertezas associadas. Os dados (peguei todos da tabela enviada) são:
- Pontos (unidades originais):
O que o exercício pede:
a) Fazer o gráfico (tensão no eixo
, corrente
no eixo
).
b) Ajustar uma reta e obter a equação do tipo .
c) Informar as unidades de e
.
d) A partir de , calcular a resistência
em ohms, sabendo que
.
a) Fazer o gráfico (tensão
b) Ajustar uma reta e obter a equação do tipo
c) Informar as unidades de
d) A partir de
Passo 2
Observação sobre método escolhido (sem entrar ainda nos cálculos): a tabela traz incertezas, então o ajuste “mais correto” seria um ajuste ponderado (weighted fit). Porém, esse ajuste exige contas mais trabalhosas à mão. Como o enunciado não exige explicitamente ajuste ponderado e você quer um procedimento aplicável na prova sem calculadora, vou usar o ajuste linear por mínimos quadrados não ponderado (regressão linear ordinária), que é o método padrão para ajustar uma reta por cálculo manual e que dá um resultado muito próximo do ajuste ponderado quando as incertezas não variam enormemente. Se for necessário depois, eu explico como faria o ajuste ponderado.
Vou descrever também COMO você deve fazer o gráfico em papel milimetrado:
- Coloque
no eixo horizontal (eixo ) e no eixo vertical (eixo ). - Use escala que caiba todos os pontos com boa ocupação da folha (por exemplo
de a e de a ); marque os eixos com unidades. - Plote cada ponto
(use as coordenadas da tabela, em mA no eixo ). - Para traçar a reta ajustada (se você tiver calculado
e ), basta calcular dois pontos da reta (por exemplo para e ou as duas extremidades do eixo) e unir por régua. - Se preferir ajuste “à vista”: trace a reta que melhor passa pelo centro dos pontos, tentando balancear o número de pontos acima/abaixo e as distâncias verticais; mas aqui eu calcularei a reta por mínimos quadrados e você poderá desenhá‑la com régua no gráfico.
Passo 3
Fórmulas e explicação didática do ajuste linear (mínimos quadrados ordinários)
- Notação: denotar os pares de dados por
com e tomar em (como na tabela) para facilitar o traçado. O ajuste linear procura e que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos verticais. - Fórmulas (para regressão ordinária):
As estimativas da inclinação
(coeficiente angular, em
se
em
) e da ordenada
(em
) são:
- Interpretação:
é quanto a corrente muda (em ) quando a tensão aumenta 1 volt; é o valor da corrente prevista quando (ordenada na origem).
Passo 4
Cálculo dos somatórios necessários (faço na unidade prática de
em
para números mais fáceis; depois converto para SI)
- Número de pontos:
- Soma das tensões:
- Soma das correntes (em
):
- Soma dos quadrados das tensões:
(veja: calcule cada quadrado e some; eu somei e cheguei em
.)
- Soma dos produtos
(unidades ):
(veja cálculo detalhado: somei os produtos individuais e obtive
.)
Passo 5
Aplicação das fórmulas e cálculo de
e
(valores em unidades práticas:
em
,
em
)
- Calcular
:
Compute passo a passo:
Portanto
- Calcular
:
Logo a equação ajustada (com
em
e
em
) é
Se preferir escrever em unidades SI (
em
), divida coeficientes por
:
ou seja
Passo 6
Unidades dos coeficientes (explicação didática)
- O coeficiente angular
é variação de corrente por variação de tensão. Como na equação usamos em e em , tem unidade . Em unidades SI corresponde a (que é a unidade de condutância). - O coeficiente linear
é a ordenada na origem, ou seja corrente quando ; tem unidade de corrente, aqui (ou em SI).
Passo 7
Cálculo da resistência
a partir do coeficiente angular
(fórmula e números)
- Num resistor ôhmico, a Lei de Ohm relaciona
e por . Na forma o coeficiente é a condutância aproximada ( ) se for pequeno; portanto tomando em . - Converta
para :
- Então
Arredondando de forma prática,
.
Resposta
(a) Gráfico: pontos
plotados em papel milimetrado com
no eixo
e
no eixo
; traçar a reta de ajuste dada abaixo.
(b) .
(c) (ou
em SI);
(ou
em SI).
(d) .
(b)
(c)
(d)