Um fio metálico de comprimento L=(79,4 \pm 0,4) \mathrm{mm} e área da seção transversal A=(208 \pm 18) \mu \mathrm{m}^{2}, transporta uma corrente i=(0,36 \pm 0,04) \mathrm{A}, quando submetido a uma diferença de potencial de V= (3,3 \pm 0,1) \mathrm{V}. A partir dos dados acima, realize a propagação de incertezas para encontrar as grandezas abaixo, expressando o resultado adequadamente, contendo os valores, as incertezas e as unidades.
a) Potência dissipada, dada por P=V i.
b) Resistência do condutor, dada por R=V / i
c) Resistividade do material, dada por \rho=R A / L
d) De que material deve ser feito esse fio?

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • L=(79,4\pm0,4)\\ \mathrm{mm}.
    • A=(208\pm18)\\ \mu\mathrm{m}^{2}.
    • i=(0,36\pm0,04)\\ \mathrm{A}.
    • V=(3,3\pm0,1)\\ \mathrm{V}.
  • O enunciado pede:
    a) Potência dissipada P=V i.
    b) Resistência do condutor R=V/i.
    c) Resistividade do material \rho=R A / L.
    d) Determinar de qual material o fio provavelmente é feito, comparando \rho com valores típicos.

Passo 2

Converter unidades para o SI e escrever os valores nominais e incertezas convertidos (essencial para calcular \rho).
  • Comprimento:
    L=(79,4\pm0,4)\\ \mathrm{mm}=(0,0794\pm0,0004)\\ \mathrm{m}.
    (usei 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}.)
  • Área:
    A=(208\pm18)\\ \mu\mathrm{m}^{2}=(208\times10^{-12}\pm18\times10^{-12})\\ \mathrm{m}^{2}=(2,08\pm0,18)\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^{2}.
    (usei 1\\ \mu\mathrm{m}^{2}=(10^{-6}\\ \mathrm{m})^{2}=10^{-12}\\ \mathrm{m}^{2}.)
Os outros já estão em SI: i=(0,36\pm0,04)\\ \mathrm{A} e V=(3,3\pm0,1)\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Explicar a regra de propagação de incertezas que vou usar (e por que). Dou a versão prática para produtos/quotientes e a formula geral.
  • Regra prática (produto/quotiente, variáveis independentes): para uma grandeza \,Q=X\cdot Y\cdots ou \,Q=X/Y\cdots, \frac{\sigma_Q}{Q}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_X}{X}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_Y}{Y}\right)^{2}+\cdots},onde \sigma_X,\sigma_Y,\ldots são as incertezas padrão de X,Y,\ldots. Essa fórmula vem da formula geral com derivadas parciais (desenvolvimento em série de Taylor até 1ª ordem) e é válida se as variáveis são independentes e as incertezas são pequenas.
Vou usar essa regra porque P=V i, R=V/i e \rho=V A/(i L) são produtos/quotientes simples.

Passo 4

Calcular a potência P=V i e sua incerteza.
  • Valor nominal:
    P_{\text{nom}}=V\cdot i=(3,3)\cdot(0,36)=1,188\\ \mathrm{W}.
  • Incerteza relativa:
    \frac{\sigma_{P}}{P}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{V}}{V}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{i}}{i}\right)^{2}} =\sqrt{\left(\frac{0,1}{3,3}\right)^{2}+\left(\frac{0,04}{0,36}\right)^{2}}.
    Calcular:
    \frac{0,1}{3,3}\approx0,03030,\qquad \frac{0,04}{0,36}\approx0,11111,
\frac{\sigma_{P}}{P}\approx\sqrt{(0,03030)^{2}+(0,11111)^{2}}\approx0,1152.
  • Incerteza absoluta:
    \sigma_{P}=P_{\text{nom}}\cdot0,1152\approx1,188\cdot0,1152\approx0,137\\ \mathrm{W}.
  • Arredondamento e apresentação: normalmente arredonda-se a incerteza para 1 ou 2 algarismos significativos e ajusta-se o valor à mesma casa decimal. Vou manter dois algarismos significativos na incerteza aqui:
    \sigma_{P}\approx0,14\\ \mathrm{W}\quad\Rightarrow\quad P=(1,19\pm0,14)\\ \mathrm{W}.
(Dica prática para prova: use a fórmula relativa acima; calcule as frações \sigma/V e \sigma/i e combine em quadratura — é rápido com calculadora simples.)

Passo 5

Calcular a resistência R=V/i e sua incerteza.
  • Valor nominal:
    R_{\text{nom}}=\frac{V}{i}=\frac{3,3}{0,36}=9,166\ldots\\ \Omega.
  • A incerteza relativa para quociente é a mesma forma:
    \frac{\sigma_{R}}{R}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{V}}{V}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{i}}{i}\right)^{2}}\approx0,1152
    (mesmo que em P, porque envolve os mesmos V e i).
  • Incerteza absoluta:
    \sigma_{R}=R_{\text{nom}}\cdot0,1152\approx9,1667\cdot0,1152\approx1,06\\ \Omega.
  • Apresentação (ajustando casas decimais à incerteza):
    R=(9,17\pm1,06)\\ \Omega.
(Observação: poder-se-ia arredondar a incerteza para 1,1\\ \Omega e então dar R=(9,2\pm1,1)\\ \Omega; mantive 1,06\\ \Omega com duas cifras significativas para ser um pouco mais informativo.)

Passo 6

Calcular a resistividade \rho usando \rho=R A / L, mas preferível usar a forma com as variáveis independentes do enunciado:
\rho=\frac{V\,A}{i\,L}.
Assim tratamos V,A,i,L independentes e aplicamos a regra das incertezas.
  • Valor nominal:
    • Primeiro calculei numericamente: \rho_{\text{nom}}=\frac{3,3\cdot(2,08\times10^{-10})}{0,36\cdot0,0794}\approx2,401\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • Incerteza relativa (soma em quadratura das quatro contribuições):
    \frac{\sigma_{\rho}}{\rho}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{V}}{V}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{A}}{A}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{i}}{i}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{L}}{L}\right)^{2}}.
    Substituindo números:
    \frac{\sigma_{V}}{V}=\frac{0,1}{3,3}\approx0,03030, \quad \frac{\sigma_{A}}{A}=\frac{0,18\times10^{-10}}{2,08\times10^{-10}}=\frac{18}{208}\approx0,08654,
\frac{\sigma_{i}}{i}=\frac{0,04}{0,36}\approx0,11111, \quad \frac{\sigma_{L}}{L}=\frac{0,0004}{0,0794}\approx0,00504.
Então
\frac{\sigma_{\rho}}{\rho}\approx\sqrt{(0,03030)^{2}+(0,08654)^{2}+(0,11111)^{2}+(0,00504)^{2}} \approx0,1442.
  • Incerteza absoluta:
    \sigma_{\rho}=\rho_{\text{nom}}\cdot0,1442\approx(2,401\times10^{-8})\cdot0,1442\approx3,46\times10^{-9}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • Arredondamento e apresentação: com duas cifras significativas na incerteza fica \sigma_{\rho}\approx3,5\times10^{-9}. Escrevendo em potências de dez de forma conveniente:
    \rho=(2,40\pm0,35)\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
    (Isto equivale a \rho=(2,40\cdot10^{-8})\\ \Omega\cdot\mathrm{m} com \sigma_{\rho}=0,35\cdot10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.)

Passo 7

Determinar o material comparando \rho medido com valores típicos. Vou citar valores típicos à temperatura ambiente (20–25 °C):
  • Prata: \rho_{\text{Ag}}\approx1,59\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • Cobre: \rho_{\text{Cu}}\approx1,68\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • Alumínio: \rho_{\text{Al}}\approx2,65\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • Ferro: \rho_{\text{Fe}}\sim1{,}0\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Nosso resultado é \rho=(2,40\pm0,35)\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}, que corresponde ao intervalo aproximadamente [2,05\,,\,2,75]\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}. Esse intervalo inclui o valor típico do alumínio ( 2,65\times10^{-8}) mas não inclui os valores típicos do cobre ou da prata (que são mais baixos). Portanto, com os dados e incertezas dada, o fio é mais compatível com alumínio. Observação: temperatura, pureza e trabalho mecânico podem alterar \rho um pouco, mas a identificação mais provável é alumínio.

Resposta

a) P=(1,19\pm0,14)\\ \mathrm{W}
b) R=(9,17\pm1,06)\\ \Omega
c) \rho=(2,40\pm0,35)\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
d) O fio é, muito provavelmente, de alumínio (comparando \rho com valores típicos).

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