1. A tabela a seguir foi construída usando a função f(x)=x \sqrt{x}.
x f(x)
2,0 2,8284
2,5 3,9528
3,2 5,7243
3,9 7,7019
4,1 8,3019
5,0 11,1803
Calcule o erro de truncamento T_{2}(3,5).

Passo 1

O enunciado pede o erro de truncamento
T_{2}(3,5)=f(3,5)-P_{2}(3,5)
onde P_{2} é o polinômio de interpolação quadrática para a função f(x)=x\sqrt{x} baseado em três pontos da tabela mais próximos de x=3,5.

Passo 2

Escolhemos os três nós mais próximos de 3,5, isto é
x_{0}=2{,}5,\;f_{0}=3{,}9528;\quad x_{1}=3{,}2,\;f_{1}=5{,}7243;\quad x_{2}=3{,}9,\;f_{2}=7{,}7019.
O polinômio de Lagrange de grau 2 é
P_{2}(x)=\sum_{i=0}^{2}f_{i}\,L_{i}(x),
com
L_{0}(x)=\frac{(x-3,2)(x-3,9)}{(2,5-3,2)(2,5-3,9)},\quad L_{1}(x)=\frac{(x-2,5)(x-3,9)}{(3,2-2,5)(3,2-3,9)},\quad L_{2}(x)=\frac{(x-2,5)(x-3,2)}{(3,9-2,5)(3,9-3,2)}.

Passo 3

Avaliamo cada L_{i}(3,5):
L_{0}(3,5) =\frac{(3,5-3,2)(3,5-3,9)}{(-0,7)(-1,4)} =\frac{0,3\cdot(-0,4)}{0,98}\approx-0,12245,
L_{1}(3,5) =\frac{(3,5-2,5)(3,5-3,9)}{(0,7)(-0,7)} =\frac{1,0\cdot(-0,4)}{-0,49}\approx0,81633,
L_{2}(3,5) =\frac{(3,5-2,5)(3,5-3,2)}{(1,4)(0,7)} =\frac{1,0\cdot0,3}{0,98}\approx0,30612.
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P_{2}(3,5) =3{,}9528\cdot(-0,12245) +5{,}7243\cdot0,81633 +7{,}7019\cdot0,30612 \approx6{,}54665.

Passo 4

O valor exato é
f(3,5)=3,5\sqrt{3,5}\approx3,5\cdot1,8708287\approx6,54790.

Passo 5

O erro de truncamento é
T_{2}(3,5)=f(3,5)-P_{2}(3,5) \approx6,54790-6,54665=0,00125.

Resposta

O erro de truncamento em x=3,5 é aproximadamente T_{2}(3,5)\approx0,00125.

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