1. Considere a tabela a seguir. Os dados foram obtidos da função f(x)=x^{5}+3 x^{4}.
x 0 0,5 0,6 0,8 1 1,1 2 3
y 0 0,21875 0,46656 1,55648 4 6,00281 80 486
Com o intuito de encontrar P_{3}(1,5), interpolação de Newton, faça:
a) Encontre os pontos para interpolação;
b) Encontre o valor de P_{3}(1,5);
c) Encontre o erro de truncamento T_{3}(1,5).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^5+3x^4 e uma tabela de valores. Queremos aproximar f(1,5) por um polinômio de grau 3 em forma de Newton, P_3(x), e estimar o erro de truncamento T_3(1,5). Para isso vamos:
  1. Escolher quatro pontos mais próximos de x=1,5.
  2. Montar as diferenças divididas e escrever P_3(x).
  3. Avaliar P_3(1,5).
  4. Usar a fórmula do resto de Taylor (diferenças divididas) para obter T_3(1,5).

Passo 2

Perto de x=1,5 os quatro pontos da tabela mais adequados são
(x_0,y_0)=(0,8,\,1,55648),\quad (x_1,y_1)=(1,0,\,4,00000),\quad (x_2,y_2)=(1,1,\,6,00281),\quad (x_3,y_3)=(2,0,\,80,00000).

Passo 3

Calculamos as diferenças divididas:
\begin{aligned} f[x_0]&=1,55648,& f[x_1]&=4,00000,& f[x_2]&=6,00281,& f[x_3]&=80,00000;\\\ f[x_0,x_1]&=\frac{4-1,55648}{1-0,8}=12,2176, & f[x_1,x_2]&=\frac{6,00281-4}{1,1-1}=20,0281, & f[x_2,x_3]&=\frac{80-6,00281}{2-1,1}=82,2191;\\\ f[x_0,x_1,x_2]&=\frac{20,0281-12,2176}{1,1-0,8}=26,035, & f[x_1,x_2,x_3]&=\frac{82,2191-20,0281}{2-1}=62,191;\\\ f[x_0,x_1,x_2,x_3]&=\frac{62,191-26,035}{2-0,8}=30,13. \end{aligned}
O polinômio de Newton é
P_3(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-0,8) +f[x_0,x_1,x_2](x-0,8)(x-1,0) +f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-0,8)(x-1,0)(x-1,1).
Substituindo x=1,5:
\begin{aligned} P_3(1,5)&=1,55648 +12,2176\cdot(1,5-0,8) +26,035\cdot(1,5-0,8)(1,5-1,0)\\\ &\quad+30,13\cdot(1,5-0,8)(1,5-1,0)(1,5-1,1)\\\ &=1,55648+8,55232+9,11225+4,21820\approx23,43925. \end{aligned}

Passo 4

A fórmula do erro de truncamento em grau 3 é
T_3(1,5) =\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(1,5-0,8)(1,5-1,0)(1,5-1,1)(1,5-2,0),
para algum \xi\in[0,8,2,0]. Como
f^{(4)}(x)=120x+72\quad\Longrightarrow\quad\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}=5\xi+3,
e (1,5-0,8)(1,5-1,0)(1,5-1,1)(1,5-2,0)=0,7\cdot0,5\cdot0,4\cdot(-0,5)=-0,07,
temos
T_3(1,5)=-(5\xi+3)\,0,07,\quad \xi\in[0,8,2,0].
Numericamente, comparando com o valor exato f(1,5)=22,78125,
T_3(1,5)=f(1,5)-P_3(1,5)\approx22,78125-23,43925=-0,65800.

Resposta

(a) Os pontos escolhidos foram (0,8,1,55648), (1,0,4,00000), (1,1,6,00281) e (2,0,80,00000).
(b) P_3(1,5)\approx23,43925.
(c) T_3(1,5)=f(1,5)-P_3(1,5)\approx-0,65800 (e em módulo 0,658, com cota máxima \le0,91).

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