A tabela a seguir mostra a distribuição de salários (em R $ mil) dos 50 funcionários de uma startup de tecnologia:
Salário (R$ mil) Frequência
[2-4) 10
[4-6) 18
[6-8) 12
[8-10) 7
[10-12) 3
  1. Construa a tabela de frequências relativas e frequências acumuladas.
  2. Calcule a média, mediana e moda dos salários, usando as fórmulas para dados agrupados em classes.
  3. Calcule o percentil 90 ( \mathbf{P} \_\mathbf{9 0} ). O que esse valor significa para a empresa?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de salários (em R$ mil) dos 50 funcionários, em classes e frequências, e pede três coisas:
  1. Construir a tabela de frequências relativas e de frequências acumuladas.
  2. Calcular a média, a mediana e a moda usando fórmulas para dados agrupados em classes.
  3. Calcular o percentil P_{90} e interpretar o resultado para a empresa.
Dados fornecidos (copiei da tabela do enunciado):
\begin{array}{ll} \text{Classe (R\$ mil)} & \text{Frequência }(f_i)\\\ {[2-4)} & 10\\\ {[4-6)} & 18\\\ {[6-8)} & 12\\\ {[8-10)} & 7\\\ {[10-12)} & 3 \end{array}ê
Total de observações: \;N=50.

Passo 2

Construção das frequências relativas e acumuladas (explicando o porquê e como):
  • Frequência relativa: é a proporção da classe em relação ao total. Fórmula:
\text{frequência relativa} = \frac{f_i}{N}.ê
Aqui f_i é a frequência da i-ésima classe e N é o total (50). Vou calcular cada uma.
  • Frequência acumulada (absoluta): é a soma das frequências das classes até a classe em questão. Denotamos por F_a ou F_{\text{ac}}.
Cálculos:
  • Para a classe [2-4): f=10.
\text{frequência relativa}=\frac{10}{50}=0,20.ê
Frequência acumulada até aqui: 10.
  • Para a classe [4-6): f=18.
\text{frequência relativa}=\frac{18}{50}=0,36.ê
Frequência acumulada até aqui: 10+18=28.
  • Para a classe [6-8): f=12.
\text{frequência relativa}=\frac{12}{50}=0,24.ê
Frequência acumulada até aqui: 28+12=40.
  • Para a classe [8-10): f=7.
\text{frequência relativa}=\frac{7}{50}=0,14.ê
Frequência acumulada até aqui: 40+7=47.
  • Para a classe [10-12): f=3.
\text{frequência relativa}=\frac{3}{50}=0,06.ê
Frequência acumulada final: 47+3=50 (confirma que cobre todo o conjunto).
Também é útil a frequência relativa acumulada: somatório das frequências relativas até a classe:
0,20;\;0,20+0,36=0,56;\;0,56+0,24=0,80;\;0,80+0,14=0,94;\;0,94+0,06=1,00.
Resumo (classe : f_i, frequência relativa, frequência acumulada):
[2-4): f=10,\;fr=0,20,\;Fa=10. [4-6): f=18,\;fr=0,36,\;Fa=28. [6-8): f=12,\;fr=0,24,\;Fa=40. [8-10): f=7,\;fr=0,14,\;Fa=47. [10-12): f=3,\;fr=0,06,\;Fa=50.

Passo 3

Cálculo da média para dados agrupados (aula rápida + aplicação):
  • Método / fórmula: para dados agrupados em classes, aproximamos cada classe por seu ponto médio (marca de classe) m_i e usamos a média ponderada:
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i} f_i m_i,
onde f_i é a frequência da classe i, m_i é o ponto médio dessa classe e N é o total.
  • Como obter m_i: é a média dos limites da classe. Ex.: para [2-4), m=(2+4)/2=3.
Calculemos as marcas m_i e os produtos f_i m_i:
[2-4): m_1=3, f_1 m_1 = 10\cdot 3 = 30.
[4-6): m_2=5, f_2 m_2 = 18\cdot 5 = 90.
[6-8): m_3=7, f_3 m_3 = 12\cdot 7 = 84.
[8-10): m_4=9, f_4 m_4 = 7\cdot 9 = 63.
[10-12): m_5=11, f_5 m_5 = 3\cdot 11 = 33.
Somando:
\sum f_i m_i = 30+90+84+63+33 = 300.
Logo
\bar{x}=\frac{300}{50}=6.
Interpretação: a média dos salários (aproximada pelas classes) é \; \mathbf{6} (mil reais), ou seja, R$6.000.

Passo 4

Cálculo da mediana para dados agrupados (aula + aplicação passo a passo):
  • Conceito: a mediana é o ponto que divide os dados ao meio; para N observações, posição é N/2. Para dados agrupados usamos a fórmula de interpolação linear dentro da classe que contém a mediana.
  • Fórmula para a mediana (classe mediana):
\text{Mediana} = L + \left(\frac{\frac{N}{2} - F_{c}}{f_m}\right)\cdot h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe mediana,
  • N é o total ( 50),
  • F_{c} é a frequência acumulada antes da classe mediana (soma das frequências de classes anteriores),
  • f_m é a frequência da classe mediana,
  • h é a amplitude (largura) da classe.
  • Encontrar a classe mediana: calcular N/2=50/2=25. A classe que contém a 25ª observação é aquela cujo acumulado ultrapassa 25 pela primeira vez. Usando as frequências acumuladas do Passo 2, vemos:
10,\;28,\;40,\;47,\;50.
A primeira acumulada \ge 25 é 28, que corresponde à classe [4-6). Portanto a classe mediana é [4,6).
  • Dados para fórmula:
    • L=4,
    • F_{c}=10 (acumulado antes da classe [4-6)),
    • f_m=18,
    • h=6-4=2.
  • Aplicando:
\text{Mediana} = 4 + \left(\frac{25-10}{18}\right)\cdot 2 = 4 + \frac{15}{18}\cdot 2.
Calcule:
\frac{15}{18}=\frac{5}{6}\approx 0,8333,\quad \frac{15}{18}\cdot 2=\frac{10}{6}\approx 1,6667.
\text{Mediana} \approx 4 + 1,6667 = 5,6667.
Arredondando, mediana \approx \mathbf{5,667} (mil reais), ou seja, R$5.667.

Passo 5

Cálculo da moda para dados agrupados (aula + aplicação passo a passo):
  • Conceito: a moda em dados agrupados é estimada pela classe modal (aquela com maior frequência) e usa interpolação para achar o ponto modal dentro dessa classe.
  • Identificar classe modal: é a classe com maior f_i. Das frequências 10,18,12,7,3, a maior é 18, então a classe modal é [4-6).
  • Fórmula para a moda (estimativa por classes):
\text{Moda} = L + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right)\cdot h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe modal,
  • f_1 é a frequência da classe modal,
  • f_0 é a frequência da classe anterior,
  • f_2 é a frequência da classe seguinte,
  • h é a amplitude da classe.
  • Para nossa classe modal [4-6):
    • L=4,
    • f_1=18,
    • f_0=10 (classe anterior [2-4)),
    • f_2=12 (classe seguinte [6-8)),
    • h=2.
  • Aplicando:
\text{Moda} = 4 + \left(\frac{18-10}{2\cdot 18 - 10 - 12}\right)\cdot 2 = 4 + \left(\frac{8}{36 - 22}\right)\cdot 2 = 4 + \left(\frac{8}{14}\right)\cdot 2.
\frac{8}{14}=\frac{4}{7}\approx 0,5714286,\quad \cdot 2 \approx 1,142857.
\text{Moda} \approx 4 + 1,142857 = 5,142857.
Arredondando, moda \approx \mathbf{5,143} (mil reais), ou seja, R$5.143. Interpretação: a concentração máxima de salários está perto de R$5,14k.

Passo 6

Cálculo do percentil P_{90} e interpretação:
  • Fórmula e método (igual à mediana, mas usando posição do percentil):
    • A posição do percentil P_k é k\% de N: P_k posição = \frac{k}{100}\cdot N.
    • Usamos a mesma fórmula de interpolação dentro da classe que contém essa posição:
P_k = L + \left(\frac{\frac{k}{100}N - F_{c}}{f_m}\right)\cdot h.
  • Para P_{90}: posição =0,9\cdot 50 =45. Ou seja, queremos o valor abaixo do qual estão 90% (ou a 45ª observação, aproximadamente).
  • Encontrar a classe que contém a 45ª observação: usando os acumulados 10,28,40,47,50, vemos que a primeira acumulada \ge 45 é 47, que corresponde à classe [8-10). Então a classe do P_{90} é [8,10).
  • Dados para fórmula:
    • L=8,
    • F_{c}=40 (acumulado antes da classe [8-10)),
    • f_m=7 (frequência da classe [8-10)),
    • h=2,
    • posição =45.
  • Aplicando:
P_{90} = 8 + \left(\frac{45-40}{7}\right)\cdot 2 = 8 + \frac{5}{7}\cdot 2.
\frac{5}{7}\approx 0,7142857,\quad \cdot 2 \approx 1,4285714.
P_{90} \approx 8 + 1,4285714 = 9,4285714.
Arredondando, P_{90}\approx \mathbf{9,429} (mil reais), ou seja, R$9.429.
  • Interpretação prática para a empresa: aproximadamente 90\% dos funcionários ganham até cerca de R$9.429 por mês; os 10\% superiores (o topo) ganham mais do que esse valor. Esse número pode ser usado para definir políticas salariais, limites de faixa alta, identificar os top 10% para bônus ou comparações de mercado.

Resposta

  1. [2-4): f=10,\;fr=0,20,\;Fa=10;\;[4-6): f=18,\;fr=0,36,\;Fa=28;\;[6-8): f=12,\;fr=0,24,\;Fa=40;\;[8-10): f=7,\;fr=0,14,\;Fa=47;\;[10-12): f=3,\;fr=0,06,\;Fa=50.
  2. \bar{x}=6 (mil R$), \text{Mediana}\approx 5,667 (mil R$), \text{Moda}\approx 5,143 (mil R$).
  3. P_{90}\approx 9,429 (mil R$). Significado: cerca de 90\% dos funcionários ganham até R$9.429; os 10\% mais bem pagos ganham acima disso.

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