A tabela a seguir mostra a distribuição de salários (em R $ mil) dos 50 funcionários de uma startup de tecnologia:
Salário (R$ mil)
Frequência
10
18
12
7
3
- Construa a tabela de frequências relativas e frequências acumuladas.
- Calcule a média, mediana e moda dos salários, usando as fórmulas para dados agrupados em classes.
- Calcule o percentil 90 (
). O que esse valor significa para a empresa?
| Salário (R$ mil) | Frequência |
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10 |
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18 |
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|
12 |
|
|
7 |
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|
3 |
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de salários (em R$ mil) dos 50 funcionários, em classes e frequências, e pede três coisas:
- Construir a tabela de frequências relativas e de frequências acumuladas.
- Calcular a média, a mediana e a moda usando fórmulas para dados agrupados em classes.
- Calcular o percentil
e interpretar o resultado para a empresa.
Dados fornecidos (copiei da tabela do enunciado):
Total de observações:
.
Passo 2
Construção das frequências relativas e acumuladas (explicando o porquê e como):
- Frequência relativa: é a proporção da classe em relação ao total. Fórmula:
Aqui
é a frequência da i-ésima classe e
é o total (50). Vou calcular cada uma.
- Frequência acumulada (absoluta): é a soma das frequências das classes até a classe em questão. Denotamos por
ou .
Cálculos:
- Para a classe
: .
Frequência acumulada até aqui:
.
- Para a classe
: .
Frequência acumulada até aqui:
.
- Para a classe
: .
Frequência acumulada até aqui:
.
- Para a classe
: .
Frequência acumulada até aqui:
.
- Para a classe
: .
Frequência acumulada final:
(confirma que cobre todo o conjunto).
Também é útil a frequência relativa acumulada: somatório das frequências relativas até a classe:
Resumo (classe :
, frequência relativa, frequência acumulada):
.
.
.
.
.
Passo 3
Cálculo da média para dados agrupados (aula rápida + aplicação):
- Método / fórmula: para dados agrupados em classes, aproximamos cada classe por seu ponto médio (marca de classe)
e usamos a média ponderada:
onde
é a frequência da classe
,
é o ponto médio dessa classe e
é o total.
- Como obter
: é a média dos limites da classe. Ex.: para , .
Calculemos as marcas
e os produtos
:
Somando:
Logo
Interpretação: a média dos salários (aproximada pelas classes) é
(mil reais), ou seja, R$6.000.
Passo 4
Cálculo da mediana para dados agrupados (aula + aplicação passo a passo):
-
Conceito: a mediana é o ponto que divide os dados ao meio; para
observações, posição é . Para dados agrupados usamos a fórmula de interpolação linear dentro da classe que contém a mediana. -
Fórmula para a mediana (classe mediana):
onde:
-
é o limite inferior da classe mediana, -
é o total ( ), -
é a frequência acumulada antes da classe mediana (soma das frequências de classes anteriores), -
é a frequência da classe mediana, -
é a amplitude (largura) da classe. -
Encontrar a classe mediana: calcular
. A classe que contém a 25ª observação é aquela cujo acumulado ultrapassa 25 pela primeira vez. Usando as frequências acumuladas do Passo 2, vemos:
A primeira acumulada
é
, que corresponde à classe
. Portanto a classe mediana é
.
-
Dados para fórmula:
-
, -
(acumulado antes da classe ), -
, -
.
-
-
Aplicando:
Calcule:
Arredondando, mediana
(mil reais), ou seja, R$5.667.
Passo 5
Cálculo da moda para dados agrupados (aula + aplicação passo a passo):
-
Conceito: a moda em dados agrupados é estimada pela classe modal (aquela com maior frequência) e usa interpolação para achar o ponto modal dentro dessa classe.
-
Identificar classe modal: é a classe com maior
. Das frequências , a maior é , então a classe modal é . -
Fórmula para a moda (estimativa por classes):
onde:
-
é o limite inferior da classe modal, -
é a frequência da classe modal, -
é a frequência da classe anterior, -
é a frequência da classe seguinte, -
é a amplitude da classe. -
Para nossa classe modal
: -
, -
, -
(classe anterior ), -
(classe seguinte ), -
.
-
-
Aplicando:
Arredondando, moda
(mil reais), ou seja, R$5.143. Interpretação: a concentração máxima de salários está perto de R$5,14k.
Passo 6
Cálculo do percentil
e interpretação:
- Fórmula e método (igual à mediana, mas usando posição do percentil):
- A posição do percentil
é de : posição . - Usamos a mesma fórmula de interpolação dentro da classe que contém essa posição:
- A posição do percentil
-
Para
: posição . Ou seja, queremos o valor abaixo do qual estão 90% (ou a 45ª observação, aproximadamente). -
Encontrar a classe que contém a 45ª observação: usando os acumulados
, vemos que a primeira acumulada é , que corresponde à classe . Então a classe do é . -
Dados para fórmula:
-
, -
(acumulado antes da classe ), -
(frequência da classe ), -
, - posição
.
-
-
Aplicando:
Arredondando,
(mil reais), ou seja, R$9.429.
- Interpretação prática para a empresa: aproximadamente
dos funcionários ganham até cerca de R$9.429 por mês; os superiores (o topo) ganham mais do que esse valor. Esse número pode ser usado para definir políticas salariais, limites de faixa alta, identificar os top 10% para bônus ou comparações de mercado.
Resposta
-
-
(mil R$), (mil R$), (mil R$). -
(mil R$). Significado: cerca de dos funcionários ganham até R$9.429; os mais bem pagos ganham acima disso.