A tabela a seguir mostra a variação do PIB na Lithasia quando ocorrem mudanças nas unidades de capital humano, mantendo o estoque de capital físico constante.
PIB (em milhões de dólares) | Estoque de <br> Capital Físico <br> (Unidades) | Unidades de <br> Trabalho |
---|---|---|
100 | 15.000 | 16.000 |
150 | 15.000 | 20.000 |
180 | 15.000 | 24.000 |
200 | 15.000 | 28.000 |
210 | 15.000 | 32.000 |
Como ficaria a função de produção agregada dessa economia se o PIB for medido no eixo vertical e as unidades de trabalho eficientes no eixo horizontal?
Passo 1
Beleza! A questão nos dá uma tabela em que o estoque de capital físico (K=15 000 unidades) está fixo, e varia só a “quantidade de trabalho eficiente” (digamos L). Mostram o PIB (Y) correspondente a cada nível de L. O que querem é montar a função de produção agregada Y = f(L) — com Y no eixo vertical e L no horizontal — mantendo K constante.
Conteúdo: função de produção agregada, especializando em K fixo para ficar só Y como função de L. Vamos usar noções de como passar dados de pontos para uma função (aqui, uma função definida por pedaços) e lembrar o conceito de produto marginal decrescente.
Conteúdo: função de produção agregada, especializando em K fixo para ficar só Y como função de L. Vamos usar noções de como passar dados de pontos para uma função (aqui, uma função definida por pedaços) e lembrar o conceito de produto marginal decrescente.
Passo 2
Primeiro, a gente organiza a tabela em (L,Y) para não ficar confuso:
– L=16 000 → Y=100
– L=20 000 → Y=150
– L=24 000 → Y=180
– L=28 000 → Y=200
– L=32 000 → Y=210
– L=16 000 → Y=100
– L=20 000 → Y=150
– L=24 000 → Y=180
– L=28 000 → Y=200
– L=32 000 → Y=210
A ideia é construir f(L) de modo que, quando L varia nesses intervalos, Y acompanhe linearmente (ou seja, por pedaços). Note que o produto marginal do trabalho (ΔY/ΔL) vai caindo a cada trecho:
– De 16 000 a 20 000: ΔY=50, ΔL=4 000 ⇒ 50/4 000=0,0125
– De 20 000 a 24 000: ΔY=30, ΔL=4 000 ⇒ 0,0075
– De 24 000 a 28 000: ΔY=20, ΔL=4 000 ⇒ 0,0050
– De 28 000 a 32 000: ΔY=10, ΔL=4 000 ⇒ 0,0025
– De 16 000 a 20 000: ΔY=50, ΔL=4 000 ⇒ 50/4 000=0,0125
– De 20 000 a 24 000: ΔY=30, ΔL=4 000 ⇒ 0,0075
– De 24 000 a 28 000: ΔY=20, ΔL=4 000 ⇒ 0,0050
– De 28 000 a 32 000: ΔY=10, ΔL=4 000 ⇒ 0,0025
Passo 3
Como o enunciado não pede um ajuste tipo Cobb-Douglas, mas “como ficaria a função” em um gráfico, podemos escrever f(L) como uma função contínua por intervalos lineares que passa exatinho pelos pontos. Assim garantimos que Y cresce com L e o produto marginal cai (concavidade).
Para cada intervalo [L₁,L₂], montamos a reta que passa por (L₁,Y₁) e (L₂,Y₂):
Se L ∈ [16 000,20 000]: inclinação = 0,0125, ponto inicial (16 000,100), então
Y = 100 + 0,0125·(L−16 000)
Se L ∈ [16 000,20 000]: inclinação = 0,0125, ponto inicial (16 000,100), então
Y = 100 + 0,0125·(L−16 000)
Se L ∈ [20 000,24 000]: inclinação = 0,0075, ponto inicial (20 000,150), então
Y = 150 + 0,0075·(L−20 000)
Y = 150 + 0,0075·(L−20 000)
Se L ∈ [24 000,28 000]: inclinação = 0,0050, ponto inicial (24 000,180), então
Y = 180 + 0,0050·(L−24 000)
Y = 180 + 0,0050·(L−24 000)
Se L ∈ [28 000,32 000]: inclinação = 0,0025, ponto inicial (28 000,200), então
Y = 200 + 0,0025·(L−28 000)
Y = 200 + 0,0025·(L−28 000)
Isso gera a curva f(L) desejada, que é crescente (porque a inclinação >0) e côncava (porque a inclinação vai caindo).
Passo 4
Recapitulando a teoria: uma função de produção agregada F(K,L) mostra o PIB Y em função de capital físico K e trabalho eficiente L. Aqui K é constante, então a gente chama Y = f(L). O produto marginal de L é f′(L) e, como vimos pelos declínios de ΔY/ΔL, ele é decrescente (f′′(L)<0), refletindo rendimentos decrescentes ao trabalho quando K fixa.
Resposta
A função de produção agregada, com K=15 000 fixo e L no eixo horizontal, é: