A tabela a seguir relaciona resultados de uma pesquisa obtidos de uma amostra aleatória de vítimas de diferentes crimes. Com o nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que o tipo de crime é independente do fato de o criminoso ser um estranho.
Homicídio Roubo Assalto
O criminoso era um estranho 12 379 727
O criminoso era conhecido ou parente 39 106 642
Com base em dados do Ministério da Justiça dos EUA.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tabela que mostra o número de vítimas de diferentes tipos de crimes, separadas entre criminosos que são estranhos e aqueles que são conhecidos ou parentes. A gente precisa testar, com um nível de confiança de 95% (ou significância de 5%), se o tipo de crime é independente do fato de o criminoso ser um estranho. Para resolver isso, vamos usar o Teste de Independência Qui-Quadrado, que ajuda a verificar se duas variáveis categóricas são independentes uma da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados da tabela:
Homicídio Roubo Assalto Total
Criminoso era um estranho 12 379 727 1118
Criminoso era conhecido/parente 39 106 642 787
Total 51 485 1369 1905

Passo 3

O próximo passo é calcular os valores esperados para cada célula da tabela, assumindo que as duas variáveis são independentes. A fórmula para calcular cada valor esperado é:
Eij = (Total da linha i) times (Total da coluna j)Total >=ral
Vamos calcular para cada célula:
  • Homicídio - Estranho:
    E11 = 1118 times 511905 approx 29.94
  • Roubo - Estranho:
    E12 = 1118 times 4851905 approx 284.24
  • Assalto - Estranho:
    E13 = 1118 times 13691905 approx 803.82
  • Homicídio - Conhecido/Parente:
    E21 = 787 times 511905 approx 21.06
  • Roubo - Conhecido/Parente:
    E22 = 787 times 4851905 approx 200.76
  • Assalto - Conhecido/Parente:
    E23 = 787 times 13691905 approx 565.18

Passo 4

Agora, vamos calcular o Qui-Quadrado usando a fórmula:
chi^2 = sum (Oij - Eij)^2Eij
Onde $ O_{ij} $ são os valores observados e $ E_{ij} $ são os valores esperados.
Vamos calcular para cada célula:
  • Homicídio - Estranho:
    Oij
  • Roubo - Estranho:
    Eij
  • Assalto - Estranho:
    (12 - 29.94)^229.94 approx (−17.94)^229.94 approx 322.5629.94 approx 10.78
  • Homicídio - Conhecido/Parente:
    (379 - 284.24)^2284.24 approx (94.76)^2284.24 approx 8964.82284.24 approx 31.56
  • Roubo - Conhecido/Parente:
    (727 - 803.82)^2803.82 approx (−76.82)^2803.82 approx 5900.67803.82 approx 7.34
  • Assalto - Conhecido/Parente:
    (39 - 21.06)^221.06 approx (17.94)^221.06 approx 322.5621.06 approx 15.32
Somando todos esses valores:
(106 - 200.76)^2200.76 approx (−94.76)^2200.76 approx 8974.66200.76 approx 44.65

Passo 5

Agora, vamos determinar os graus de liberdade para o teste. A fórmula é:
gl = (número de linhas - 1) times (número de colunas - 1) úú
No nosso caso, temos 2 linhas e 3 colunas:
gl = (2 - 1) times (3 - 1) = 1 times 2 = 2

Passo 6

Com o valor de chi^2 approx 119.07 e gl = 2, vamos comparar com o valor crítico da tabela de Qui-Quadrado para alpha = 0,05. Consultando a tabela, o valor crítico para 2 graus de liberdade e 5% de significância é aproximadamente 5,99.

Passo 7

Como o nosso valor calculado 119.07 é muito maior que o valor crítico 5,99, rejeitamos a hipótese nula de que o tipo de crime é independente do fato de o criminoso ser um estranho.

Resposta

Com um nível de significância de 5%, há evidências suficientes para afirmar que o tipo de crime está relacionado a o criminoso ser um estranho ou não.

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