A tabela a seguir relaciona resultados de uma pesquisa obtidos de uma amostra aleatória de vítimas de diferentes crimes. Com o nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que o tipo de crime é independente do fato de o criminoso ser um estranho.
Homicídio Roubo Assalto
Homicídio Roubo Assalto
O criminoso era um estranho | 12 | 379 | 727 |
---|---|---|---|
O criminoso era conhecido ou parente
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Com base em dados do Ministério da Justiça dos EUA. |
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tabela que mostra o número de vítimas de diferentes tipos de crimes, separadas entre criminosos que são estranhos e aqueles que são conhecidos ou parentes. A gente precisa testar, com um nível de confiança de 95% (ou significância de 5%), se o tipo de crime é independente do fato de o criminoso ser um estranho. Para resolver isso, vamos usar o Teste de Independência Qui-Quadrado, que ajuda a verificar se duas variáveis categóricas são independentes uma da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados da tabela:
Homicídio | Roubo | Assalto | Total | |
---|---|---|---|---|
Criminoso era um estranho | 12 | 379 | 727 | 1118 |
Criminoso era conhecido/parente | 39 | 106 | 642 | 787 |
Total | 51 | 485 | 1369 | 1905 |
Passo 3
O próximo passo é calcular os valores esperados para cada célula da tabela, assumindo que as duas variáveis são independentes. A fórmula para calcular cada valor esperado é:
Vamos calcular para cada célula:
-
Homicídio - Estranho:
-
Roubo - Estranho:
-
Assalto - Estranho:
-
Homicídio - Conhecido/Parente:
-
Roubo - Conhecido/Parente:
-
Assalto - Conhecido/Parente:
Passo 4
Agora, vamos calcular o Qui-Quadrado usando a fórmula:
Onde $ O_{ij} $ são os valores observados e $ E_{ij} $ são os valores esperados.
Vamos calcular para cada célula:
-
Homicídio - Estranho:
-
Roubo - Estranho:
-
Assalto - Estranho:
-
Homicídio - Conhecido/Parente:
-
Roubo - Conhecido/Parente:
-
Assalto - Conhecido/Parente:
Somando todos esses valores:
Passo 5
Agora, vamos determinar os graus de liberdade para o teste. A fórmula é:
No nosso caso, temos 2 linhas e 3 colunas:
Passo 6
Com o valor de
e
, vamos comparar com o valor crítico da tabela de Qui-Quadrado para
. Consultando a tabela, o valor crítico para 2 graus de liberdade e 5% de significância é aproximadamente 5,99.
Passo 7
Como o nosso valor calculado
é muito maior que o valor crítico
, rejeitamos a hipótese nula de que o tipo de crime é independente do fato de o criminoso ser um estranho.
Resposta
Com um nível de significância de 5%, há evidências suficientes para afirmar que o tipo de crime está relacionado a o criminoso ser um estranho ou não.