Se
e
são independentes, qual é a densidade de
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que seguem distribuições exponenciais com parâmetros $ \lambda $ e $ \alpha $, respectivamente. Além disso, elas são independentes. O que precisamos descobrir é qual é a densidade da razão $ Z = \frac{X}{Y} $. Para isso, vamos usar conceitos de transformações de variáveis aleatórias e teoria das distribuições.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a distribuição exponencial tem a seguinte função de densidade:
Como $ X $ e $ Y $ são independentes, a densidade conjunta $ f_{X,Y}(x,y) $ é o produto das densidades individuais:
Passo 3
Para encontrar a densidade de $ Z = \frac{X}{Y} $, vamos usar a técnica de mudança de variáveis. Definimos uma nova variável $ Z = \frac{X}{Y} $ e mantemos $ Y $ como a segunda variável. Assim, temos:
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. As derivadas parciais são:
O jacobiano $ J $ é:
Passo 4
Agora, expressamos a densidade conjunta de $ Z $ e $ Y $:
Para encontrar a densidade marginal de $ Z $, integramos sobre todas as possíveis valores de $ Y $:
Passo 5
A integral que restou é do tipo:
onde $ k = \lambda z + \alpha $. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa expressão:
Resposta
A densidade de $ \frac{X}{Y} $ é dada por: