Se X sim Exp(lambda) e Y sim Exp(alpha) são independentes, qual é a densidade de X / Y ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que seguem distribuições exponenciais com parâmetros $ \lambda $ e $ \alpha $, respectivamente. Além disso, elas são independentes. O que precisamos descobrir é qual é a densidade da razão $ Z = \frac{X}{Y} $. Para isso, vamos usar conceitos de transformações de variáveis aleatórias e teoria das distribuições.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a distribuição exponencial tem a seguinte função de densidade:
fX(x) = lambda e^-lambda x, x >= 0
fY(y) = alpha e^-alpha y, y >= 0
Como $ X $ e $ Y $ são independentes, a densidade conjunta $ f_{X,Y}(x,y) $ é o produto das densidades individuais:
X

Passo 3

Para encontrar a densidade de $ Z = \frac{X}{Y} $, vamos usar a técnica de mudança de variáveis. Definimos uma nova variável $ Z = \frac{X}{Y} $ e mantemos $ Y $ como a segunda variável. Assim, temos:
Z = XY
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. As derivadas parciais são:
Z = XY
Y
O jacobiano $ J $ é:
X = ZY

Passo 4

Agora, expressamos a densidade conjunta de $ Z $ e $ Y $:
Z
Para encontrar a densidade marginal de $ Z $, integramos sobre todas as possíveis valores de $ Y $:
Y

Passo 5

A integral que restou é do tipo:
integral0^infty y e^-ky , dy
onde $ k = \lambda z + \alpha $. Sabemos que:
k = lambda z + alpha
Aplicando isso na nossa expressão:
integral0^infty y e^-ky , dy = 1k^2

Resposta

A densidade de $ \frac{X}{Y} $ é dada por:
XY

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