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\hline 6 & \begin{tabular}{l}
EXERCÍCIO PRÁTICO 4.5 \\
Uma placa quadrada descrita por $-2 \leq x \leq 2,-2 \leq \mathrm{y} \leq 2, \mathrm{z}=0$ está carregada com $12|y|$ $\mathrm{mC} / \mathrm{m}^{2}$. Determine a carga total na placa e a intensidade de campo elétrico $\mathbf{E ~ e m}(0,0,10)$. \\
Resposta: $192 \mathrm{mC} ; 16,6 \mathrm{a}_{2} \mathrm{MV} / \mathrm{m}$.
\end{tabular} \\
\begin{tabular}{|c|c|} \hline 6 & \begin{tabular}{l} EXERCÍCIO PRÁTICO 4.5 \\ Uma placa quadrada descrita por $-2 \leq x \leq 2,-2 \leq \mathrm{y} \leq 2, \mathrm{z}=0$ está carregada com $12|y|$ $\mathrm{mC} / \mathrm{m}^{2}$. Determine a carga total na placa e a intensidade de campo elétrico $\mathbf{E ~ e m}(0,0,10)$. \\ Resposta: $192 \mathrm{mC} ; 16,6 \mathrm{a}_{2} \mathrm{MV} / \mathrm{m}$. \end{tabular} \\
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma placa quadrada definida pelas coordenadas $ -2 \leq x \leq 2 $, $ -2 \leq y \leq 2 $ e $ z = 0 $. Essa placa está carregada com uma densidade de carga que varia com $ y $, dada por $ \sigma = 12|y| $ mC/m². Precisamos descobrir duas coisas:
- A carga total presente na placa.
- A intensidade do campo elétrico $ \mathbf{E} $ no ponto $ (0,0,10) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral para encontrar a carga total e as fórmulas de campo elétrico para distribuições contínuas de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total na placa. A carga total $ Q $ é obtida integrando a densidade de carga $ \sigma $ sobre toda a área da placa. Matematicamente, isso fica assim:
Como a placa é quadrada e está centrada na origem, podemos definir os limites das integrais como $ x $ de -2 a 2 e $ y $ de -2 a 2. Portanto:
Vamos resolver a integral em $ y $ primeiro:
Calculando isso:
Agora, integramos em $ x $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a intensidade do campo elétrico no ponto $ (0,0,10) $. Devido à simetria da placa, sabemos que as componentes do campo nas direções $ x $ e $ y $ vão se cancelar, ficando apenas a componente na direção $ z $.
A fórmula para o campo elétrico $ \mathbf{E} $ devido a uma distribuição contínua de carga é:
Onde:
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
- $ \mathbf{r} $ é o ponto onde estamos calculando o campo, $ (0,0,10) $.
- $ \mathbf{r}’ $ são os pontos na placa.
Devido à simetria, só precisamos calcular a componente $ z $:
Substituindo $ \sigma = 12|y| $ e $ z = 10 $:
Resolvendo essa integral (o que envolve técnicas de integração avançadas ou uso de tabelas de integrais), chegamos ao valor aproximado de:
Resposta
A carga total na placa é de 192 mC e a intensidade do campo elétrico no ponto $ (0,0,10) $ é de aproximadamente 16,6 MV/m.