Uma taça hemisférica (metade de uma casca esférica de espessura desprezível) de raio R está uniformemente carregada com uma densidade superficial de carga sigma. Calcular E no centro de curvatura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma taça hemisférica, que é tipo metade de uma casca esférica, com raio . Essa taça está carregada de maneira uniforme, ou seja, a carga está distribuída igualmente em toda a sua superfície, e a densidade superficial de carga é . A nossa missão é descobrir qual é o campo elétrico ( ) no centro de curvatura dessa taça.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de densidade superficial de carga, campo elétrico devido a uma distribuição de carga e um pouco de integração para somar as contribuições de cada pedacinho da taça.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde fica o centro de curvatura. Imagine a taça hemisférica: o centro de curvatura é o ponto exatamente no centro da esfera completa da qual a taça é uma metade. Vamos chamar esse ponto de .

Passo 3

Agora, vamos pensar em como calcular o campo elétrico dq = sigma , dA no ponto devido a toda a carga na taça. Para isso, vamos dividir a taça em pequenos elementos de área . Cada um desses elementos tem uma pequena quantidade de carga , que pode ser expressa como:
Onde é a densidade superficial de carga.

Passo 4

Cada pedacinho de carga dE = 14pivarepsilon0 dqR^2 r gera um campo elétrico no ponto . Pela Lei de Coulomb, esse campo é dado por:
Aqui, é o vetor unitário na direção do campo, e é o raio da taça.

Passo 5

Agora, vamos considerar a simetria do problema. Para cada elemento de carga em um ponto da taça, existe um elemento simétrico no lado oposto. As componentes horizontais desses campos elétricos se cancelam, deixando apenas as componentes verticais. Assim, só precisamos calcular a soma das componentes verticais dos campos elétricos.

Passo 6

A componente vertical dEz = dE costheta de cada campo elétrico é:
dEz = 14pivarepsilon0 sigma , dAR^2 costheta
Onde é o ângulo entre o vetor e a vertical. Substituindo :

Passo 7

Para encontrar o campo elétrico total dA = R^2 sintheta , dtheta , dphi no ponto dEz = 14pivarepsilon0 sigma R^2 sintheta , dtheta , dphiR^2 costheta = sigma4pivarepsilon0 sintheta costheta , dtheta , dphi , precisamos integrar sobre toda a superfície da taça. Em coordenadas esféricas, a área diferencial é:
Substituindo na expressão de :

Passo 8

Integrando E = sigma4pivarepsilon0 integral0^2pi integral0^pi/2 sintheta costheta , dtheta , dphi sobre integral0^2pi dphi = 2pi de E = sigma4pivarepsilon0 cdot 2pi cdot integral0^pi/2 sintheta costheta , dtheta = sigma2varepsilon0 integral0^pi/2 sintheta costheta , dtheta a (já que é uma hemisfera) e de a :
Primeiro, integramos em relação a :
Então:

Passo 9

Agora, resolvemos a integral:
integral sintheta costheta , dtheta = 12 sin^2theta + C
Aplicando os limites de 12 sin^2theta |0^pi/2 = 12 (1) - 12 (0) = 12 a E = sigma2varepsilon0 cdot 12 = sigma4varepsilon0 :
Substituindo de volta:

Resposta

O campo elétrico no centro de curvatura da taça hemisférica é:
E = sigma4,varepsilon0

Exercícios relacionados