Uma taça hemisférica (metade de uma casca esférica de espessura desprezível) de raio R está uniformemente carregada com uma densidade superficial de carga
. Calcular E no centro de curvatura.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma taça hemisférica, que é tipo metade de uma casca esférica, com raio
. Essa taça está carregada de maneira uniforme, ou seja, a carga está distribuída igualmente em toda a sua superfície, e a densidade superficial de carga é
. A nossa missão é descobrir qual é o campo elétrico (
) no centro de curvatura dessa taça.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de densidade superficial de carga, campo elétrico devido a uma distribuição de carga e um pouco de integração para somar as contribuições de cada pedacinho da taça.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde fica o centro de curvatura. Imagine a taça hemisférica: o centro de curvatura é o ponto exatamente no centro da esfera completa da qual a taça é uma metade. Vamos chamar esse ponto de
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como calcular o campo elétrico
no ponto
devido a toda a carga na taça. Para isso, vamos dividir a taça em pequenos elementos de área
. Cada um desses elementos tem uma pequena quantidade de carga
, que pode ser expressa como:
Onde
é a densidade superficial de carga.
Passo 4
Cada pedacinho de carga
gera um campo elétrico
no ponto
. Pela Lei de Coulomb, esse campo é dado por:
Aqui,
é o vetor unitário na direção do campo, e
é o raio da taça.
Passo 5
Agora, vamos considerar a simetria do problema. Para cada elemento de carga em um ponto da taça, existe um elemento simétrico no lado oposto. As componentes horizontais desses campos elétricos se cancelam, deixando apenas as componentes verticais. Assim, só precisamos calcular a soma das componentes verticais dos campos elétricos.
Passo 6
A componente vertical
de cada campo elétrico é:
Onde
é o ângulo entre o vetor
e a vertical. Substituindo
:
Passo 7
Para encontrar o campo elétrico total
no ponto
, precisamos integrar
sobre toda a superfície da taça. Em coordenadas esféricas, a área diferencial
é:
Substituindo na expressão de
:
Passo 8
Integrando
sobre
de
a
(já que é uma hemisfera) e
de
a
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então:
Passo 9
Agora, resolvemos a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Substituindo de volta:
Resposta
O campo elétrico no centro de curvatura da taça hemisférica é: