Um disco muito fino, de raio R está uniformemente carregado com uma densidade superficial de cargas sigma. Calcular E em um ponto do eixo do disco, situado a uma distancia z do seu centro. Refazer os cálculos para o caso de uma arruela (disco com um furo no centro) de raio interno R1 e externo R2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o campo elétrico em um ponto do eixo de um disco muito fino, carregado de forma uniforme com densidade superficial de carga . Depois, vamos refazer os cálculos para uma arruela, que é basicamente um disco com um furo no meio, com raio interno e externo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Gauss e a integração para distribuições contínuas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o disco completo sem furo. Para calcular o campo elétrico no eixo do disco a uma distância do centro, vamos usar a simetria do problema. O elemento de área do disco é e, como a carga está distribuída uniformemente, a densidade superficial de carga nos dá a carga .

Passo 3

Agora, vamos considerar um anel de raio e espessura no disco. A área desse anel é , então a carga no anel é . O campo elétrico gerado por esse anel no ponto a distância no eixo pode ser calculado usando a fórmula do campo de um anel carregado.

Passo 4

O campo elétrico devido a esse anel no ponto escolhido tem apenas uma componente ao longo do eixo dE = 14pi varepsilon0 cdot dq cdot z(z^2 + r^2)^3/2 , devido à simetria. A expressão para essa componente é:
dE = 14pi varepsilon0 cdot sigma cdot 2pi r dr cdot z(z^2 + r^2)^3/2
Substituindo :

Passo 5

Simplificando a expressão:
dE = sigma z2varepsilon0 cdot r dr(z^2 + r^2)^3/2
Para encontrar o campo total E = sigma z2varepsilon0 integral0^R r dr(z^2 + r^2)^3/2 , integramos de até :

Passo 6

Fazendo a substituição E = sigma z4varepsilon0 integralz^2^z^2 + R^2 u^-3/2 du , temos ou . Os limites de integração para serão de a :

Passo 7

Integrando integral u^-3/2 du = -2u^-1/2 :
E = sigma z4varepsilon0 [ -2u^-1/2 ]z^2^z^2 + R^2 = sigma z2varepsilon0 ( 1raizz^2 - 1raizz^2 + R^2 )
Então:

Passo 8

Simplificando E = sigma2varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R^2 ) :

Passo 9

Agora, para a arruela, que tem um furo no centro com raio Earruela = sigma2varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R2^2 ) - sigma2varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R1^2 ) e externo . O campo elétrico da arruela será a diferença entre o campo do disco com raio e o campo de um disco com raio :

Resposta

O campo elétrico no ponto a distância Earruela = sigma2varepsilon0 ( zraizz^2 + R1^2 - zraizz^2 + R2^2 ) no eixo da arruela é:

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