Um disco muito fino, de raio R está uniformemente carregado com uma densidade superficial de cargas . Calcular E em um ponto do eixo do disco, situado a uma distancia z do seu centro. Refazer os cálculos para o caso de uma arruela (disco com um furo no centro) de raio interno externo R2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o campo elétrico em um ponto do eixo de um disco muito fino, carregado de forma uniforme com densidade superficial de carga . Depois, vamos refazer os cálculos para uma arruela, que é basicamente um disco com um furo no meio, com raio interno e externo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Gauss e a integração para distribuições contínuas de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o disco completo sem furo. Para calcular o campo elétrico no eixo do disco a uma distância do centro, vamos usar a simetria do problema. O elemento de área do disco é e, como a carga está distribuída uniformemente, a densidade superficial de carga nos dá a carga .
Passo 3
Agora, vamos considerar um anel de raio e espessura no disco. A área desse anel é , então a carga no anel é . O campo elétrico gerado por esse anel no ponto a distância no eixo pode ser calculado usando a fórmula do campo de um anel carregado.
Passo 4
O campo elétrico devido a esse anel no ponto escolhido tem apenas uma componente ao longo do eixo , devido à simetria. A expressão para essa componente é:
Substituindo :
Passo 5
Simplificando a expressão:
Para encontrar o campo total , integramos de até :
Passo 6
Fazendo a substituição , temos ou . Os limites de integração para serão de a :
Passo 7
Integrando :
Então:
Passo 8
Simplificando :
Passo 9
Agora, para a arruela, que tem um furo no centro com raio e externo . O campo elétrico da arruela será a diferença entre o campo do disco com raio e o campo de um disco com raio :
Resposta
O campo elétrico no ponto a distância Earruela = sigma2varepsilon0 ( zraizz^2 + R1^2 - zraizz^2 + R2^2 ) no eixo da arruela é: