Considere uma partícula de massa
confinada em uma caixa infinita de lado
. Dentro da caixa,
, a energia potencial é nula. Fora dos limites da caixa a energia potencial é infinita.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa
presa dentro de uma “caixa” com paredes infinitamente altas e comprimento
. Dentro dessa caixa (
), a energia potencial é zero, e fora dela, é infinita. Nosso objetivo é descobrir quais são as energias que essa partícula pode ter e como são suas funções de onda. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em potenciais infinitos.
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a equação de Schrödinger independente do tempo, que descreve como a função de onda da partícula se comporta. Dentro da caixa, onde a energia potencial
, a equação fica assim:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a energia total, e
é a função de onda que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Vamos definir
, então a equação fica:
Essa é uma equação diferencial comum, cuja solução geral é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições do problema.
Passo 4
Agora, aplicamos as condições de contorno. Como a energia potencial é infinita fora da caixa (
e
), a função de onda deve ser zero nesses pontos:
Primeiro, vamos aplicar
:
Então, a função de onda simplifica para:
Passo 5
Agora, aplicamos a segunda condição:
:
Para que isso seja verdadeiro (com
), o seno precisa ser zero. Ou seja:
Isso acontece quando:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos relacionar
com a energia
. Sabemos que:
Substituindo
:
Passo 7
Por fim, precisamos normalizar a função de onda para garantir que a probabilidade de encontrar a partícula dentro da caixa seja 1. Isso significa que a integral de
de 0 a
deve ser igual a 1:
Substituindo
:
Resolvendo a integral:
Então, a função de onda normalizada é:
Resposta
As energias permitidas da partícula são dadas por: