Considere uma partícula de massa m confinada em uma caixa infinita de lado L. Dentro da caixa, 0, a energia potencial é nula. Fora dos limites da caixa a energia potencial é infinita.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa m presa dentro de uma “caixa” com paredes infinitamente altas e comprimento L. Dentro dessa caixa ( 0 < x < L), a energia potencial é zero, e fora dela, é infinita. Nosso objetivo é descobrir quais são as energias que essa partícula pode ter e como são suas funções de onda. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em potenciais infinitos.

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a equação de Schrödinger independente do tempo, que descreve como a função de onda da partícula se comporta. Dentro da caixa, onde a energia potencial V(x) = 0, a equação fica assim:
- hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x)
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, E é a energia total, e psi(x) é a função de onda que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
d^2 psi(x)dx^2 + 2mEhbar^2 psi(x) = 0
Vamos definir k^2 = 2mEhbar^2, então a equação fica:
d^2 psi(x)dx^2 + k^2 psi(x) = 0
Essa é uma equação diferencial comum, cuja solução geral é:
psi(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
Aqui, A e B são constantes que vamos determinar usando as condições do problema.

Passo 4

Agora, aplicamos as condições de contorno. Como a energia potencial é infinita fora da caixa ( x=0 e x=L), a função de onda deve ser zero nesses pontos:
  1. psi(0) = 0
  2. psi(L) = 0
Primeiro, vamos aplicar psi(0) = 0:
0 = A sin(0) + B cos(0) Rightarrow 0 = 0 + B Rightarrow B = 0
Então, a função de onda simplifica para:
psi(x) = A sin(kx)

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda condição: psi(L) = 0:
0 = A sin(kL)
Para que isso seja verdadeiro (com A neq 0), o seno precisa ser zero. Ou seja:
sin(kL) = 0
Isso acontece quando:
kL = npi onde n = 1, 2, 3, dots
Portanto:
k = npiL

Passo 6

Agora, vamos relacionar k com a energia E. Sabemos que:
k^2 = 2mEhbar^2 Rightarrow E = hbar^2 k^22m
Substituindo k = npiL:
En = hbar^22m ( npiL )^2 = n^2 pi^2 hbar^22m L^2

Passo 7

Por fim, precisamos normalizar a função de onda para garantir que a probabilidade de encontrar a partícula dentro da caixa seja 1. Isso significa que a integral de |psi(x)|^2 de 0 a L deve ser igual a 1:
integral0^L |psi(x)|^2 dx = 1
Substituindo psi(x) = A sin(npi xL):
A^2 integral0^L sin^2(npi xL) dx = 1
Resolvendo a integral:
A^2 cdot L2 = 1 Rightarrow A = raiz2L
Então, a função de onda normalizada é:
psin(x) = raiz2L sin(npi xL)

Resposta

As energias permitidas da partícula são dadas por:
En = n^2 pi^2 hbar^22m L^2 com n = 1, 2, 3, dots

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