b) Que tamanho deve ter a amostra para que, com 99 \% de confiança, o erro da estimativa não vá exceder a R$1,00.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o tamanho da amostra necessário para que, com 99\% de confiança, o erro máximo (margem de erro) da estimativa não exceda R$1,00.
Informações dadas no enunciado:
  • Nível de confiança: 99\%.
  • Margem de erro desejada: E=1 (R$1,00).
Informação que falta (essencial para obter um valor numérico): o desvio padrão populacional \sigma (ou uma estimativa razoável para \sigma obtida em uma amostra piloto). Sem \sigma não é possível calcular um valor numérico para o tamanho da amostra. Vou, portanto, deduzir a fórmula e mostrar exatamente como calcular n quando \sigma for conhecida; também mostrarei exemplos numéricos com \sigma assumido para ilustrar.

Passo 2

Conceito do erro (margem de erro) para estimativa de média quando o desvio padrão populacional é conhecido: a margem de erro E de um intervalo de confiança para a média é dada por
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \sigma é o desvio padrão populacional (ou uma boa estimativa dele),
  • n é o tamanho da amostra que queremos achar,
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2,
  • \alpha é o nível de significância, com \alpha = 1 - nível de confiança.
Explicando cada parte de forma simples:
  • \alpha para 99\% de confiança é \alpha = 0{,}01.
  • \alpha/2 = 0{,}005. O valor z_{\alpha/2} é o número tal que \Pr(Z>z_{\alpha/2})=0{,}005 para Z\sim N(0,1). Esse z é o “coeficiente de margem” que amplia \sigma/\sqrt{n} para garantir a confiança desejada.

Passo 3

Isolar n na fórmula do erro: a partir de
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
multiplica-se ambos os lados por \sqrt{n} e divide-se por E, obtendo
\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}.
Elevando ao quadrado:
n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2.
Observação prática: após calcular n (que pode não ser inteiro) deve-se sempre arredondar para cima ao inteiro seguinte, porque uma amostra fracionária não existe e arredondar para baixo poderia violar a margem de erro exigida.

Passo 4

Calcular z_{\alpha/2} para 99\% de confiança: como \alpha/2=0{,}005, o quantil correspondente é aproximadamente
z_{0{,}005}\approx 2{,}5758.
Como resultado, substituindo E=1 na fórmula:
n = \left(\frac{2{,}5758\,\sigma}{1}\right)^2 \approx 6{,}6349\,\sigma^{2}.

Passo 5

Interpretação e instruções finais para obter o valor numérico:
  • Se for fornecido \sigma, basta calcular n pela fórmula
n = \left(\frac{2{,}5758\,\sigma}{1}\right)^2
e, em seguida, arredondar para cima ao inteiro mais próximo.
  • Exemplos ilustrativos (apenas para entender a ordem de grandeza; estes usam valores assumidos de \sigma):
    • Se \sigma=5, então
    n \approx 6{,}6349\times 5^{2}=6{,}6349\times 25\approx 165{,}87,arredondando para cima: n=166.
    • Se \sigma=10, então
    n \approx 6{,}6349\times 100 \approx 663{,}49,arredondando para cima: n=664.

Passo 6

Conclusão prática e incentivo: sem o valor de \sigma não é possível entregar um número final. Traga o desvio padrão populacional (ou o desvio padrão amostral de uma amostra piloto) e então aplique a fórmula do Passo 4; se quiser eu já faço o cálculo e o arredondamento pra você. Vai dar tudo certo — é só obter \sigma e a conta é direta!

Resposta

n = \left(\frac{2{,}5758\,\sigma}{1}\right)^2 \approx 6{,}6349\,\sigma^{2}
(arredondar para cima ao inteiro mais próximo)

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