De que tamanho precisaria ser a amostra a fim de estimar a média da população com um erro máximo de 3 pontos em uma probabilidade de
de estar correto?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pergunta: “De que tamanho precisaria ser a amostra a fim de estimar a média da população com um erro máximo de 3 pontos e probabilidade de acerto de
?” - Informação dada: erro máximo permitido
(pontos) e nível de confiança . - Informação que não foi explicitamente dada no enunciado: o desvio padrão populacional
.
Observação: a resposta paradependerá do valor de . Vou apresentar a fórmula geral e explicar o que fazer se for desconhecido.
Passo 2
Entendendo a ideia (intuição e fórmula que usamos):
- Quando a média amostral
é usada para estimar a média populacional , a distribuição amostral tem média e desvio padrão (essa é a raiz da variância da média). - Para um intervalo de confiança de nível
, o erro máximo (metade do comprimento do intervalo) é dado por
onde:
-
é o erro máximo tolerado (aqui ); -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que ; -
é o desvio padrão populacional; -
é o tamanho da amostra que queremos determinar. - Explicando cada termo de forma simples:
mede quantos desvios-padrão da média amostral precisamos para cobrir a probabilidade central . Para de confiança, temos e usamos o quantil com área na cauda direita.
Passo 3
Valor numérico do quantil para
de confiança:
- Para
temos . O quantil correspondente da normal padrão é aproximadamente
(Este número é tabulado; é o valor tal que
.)
Passo 4
Isolando
da fórmula do erro e obtendo a expressão prática:
- Partimos de
- Isolando
:
- Elevando ao quadrado:
- Substituindo
e :
- Como
deve ser inteiro e suficiente para garantir o erro máximo, toma-se o teto (arredondar para cima):
Passo 5
O que fazer se
for desconhecido (prática em prova ou em estudo):
- Se
for desconhecido, normalmente: - usar um valor estimado
obtido de estudos piloto; ou - usar uma estimativa conservadora (por exemplo, estimar
a partir do alcance da variável usando regra empírica), ou - se
for grande, substituir por (desvio amostral) e usar a mesma fórmula como aproximação; para amostras pequenas e desconhecido, tecnicamente usa-se a distribuição e isso exige uma abordagem iterativa porque o quantil depende de .
- usar um valor estimado
- Exemplos numéricos para intuição (usando a fórmula acima):
- Se
:
- Se
:
- Se
:
- Se
- Essas contas mostram que
cresce com . Portanto, quanto maior a variabilidade da população, maior a amostra necessária para garantir um erro de pontos com de confiança.
Passo 6
Resumo final e dica de prova:
- Fórmula prática que deve ser memorizada e usada em prova quando
for conhecida ou houver boa estimativa:
- Para
de confiança e obtemos o caso específico
- Dica encorajadora: se na prova não der
, escreva a fórmula em função de (como acima) e, se for pedido um número, proponha um valor razoável para (por exemplo obtido de dados anteriores) — mostre o raciocínio.