De que tamanho precisaria ser a amostra a fim de estimar a média da população com um erro máximo de 3 pontos em uma probabilidade de 99 \% de estar correto?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pergunta: “De que tamanho precisaria ser a amostra a fim de estimar a média da população com um erro máximo de 3 pontos e probabilidade de acerto de 99\%?”
  • Informação dada: erro máximo permitido E=3 (pontos) e nível de confiança 1-\alpha=0{,}99.
  • Informação que não foi explicitamente dada no enunciado: o desvio padrão populacional \sigma.
    Observação: a resposta para n dependerá do valor de \sigma. Vou apresentar a fórmula geral e explicar o que fazer se \sigma for desconhecido.

Passo 2

Entendendo a ideia (intuição e fórmula que usamos):
  • Quando a média amostral \bar{X} é usada para estimar a média populacional \mu, a distribuição amostral tem média \mu e desvio padrão \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} (essa é a raiz da variância da média).
  • Para um intervalo de confiança de nível 1-\alpha, o erro máximo (metade do comprimento do intervalo) é dado por
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • E é o erro máximo tolerado (aqui 3);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que \Pr\big(Z>z_{\alpha/2}\big)=\alpha/2;
  • \sigma é o desvio padrão populacional;
  • n é o tamanho da amostra que queremos determinar.
  • Explicando cada termo de forma simples: z_{\alpha/2} mede quantos desvios-padrão da média amostral precisamos para cobrir a probabilidade central 1-\alpha. Para 99\% de confiança, temos \alpha=0{,}01 e usamos o quantil com área 0{,}005 na cauda direita.

Passo 3

Valor numérico do quantil para 99\% de confiança:
  • Para 1-\alpha=0{,}99 temos \alpha/2=0{,}005. O quantil correspondente da normal padrão é aproximadamente
z_{0{,}005}\approx 2{,}5758.
(Este número é tabulado; é o valor tal que \Pr(Z>2{,}5758)=0{,}005.)

Passo 4

Isolando n da fórmula do erro e obtendo a expressão prática:
  • Partimos de
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Isolando \sqrt{n}:
\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}.
  • Elevando ao quadrado:
n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}.
  • Substituindo E=3 e z_{\alpha/2}\approx 2{,}5758:
n = \left(\frac{2{,}5758\;\sigma}{3}\right)^{2}.
  • Como n deve ser inteiro e suficiente para garantir o erro máximo, toma-se o teto (arredondar para cima):
n = \left\lceil \left(\frac{2{,}5758\;\sigma}{3}\right)^{2} \right\rceil.

Passo 5

O que fazer se \sigma for desconhecido (prática em prova ou em estudo):
  • Se \sigma for desconhecido, normalmente:
    • usar um valor estimado \hat{\sigma} obtido de estudos piloto; ou
    • usar uma estimativa conservadora (por exemplo, estimar \sigma a partir do alcance da variável usando regra empírica), ou
    • se n for grande, substituir por s (desvio amostral) e usar a mesma fórmula como aproximação; para amostras pequenas e \sigma desconhecido, tecnicamente usa-se a distribuição t e isso exige uma abordagem iterativa porque o quantil t depende de n.
  • Exemplos numéricos para intuição (usando a fórmula acima):
    • Se \sigma=5:
    n=\left\lceil\left(\frac{2{,}5758\cdot 5}{3}\right)^{2}\right\rceil=\left\lceil 18{,}44\right\rceil=19.
    • Se \sigma=10:
    n=\left\lceil\left(\frac{2{,}5758\cdot 10}{3}\right)^{2}\right\rceil=\left\lceil 73{,}78\right\rceil=74.
    • Se \sigma=15:
    n=\left\lceil\left(\frac{2{,}5758\cdot 15}{3}\right)^{2}\right\rceil=\left\lceil 166{,}00\right\rceil=166.
  • Essas contas mostram que n cresce com \sigma^{2}. Portanto, quanto maior a variabilidade da população, maior a amostra necessária para garantir um erro de 3 pontos com 99\% de confiança.

Passo 6

Resumo final e dica de prova:
  • Fórmula prática que deve ser memorizada e usada em prova quando \sigma for conhecida ou houver boa estimativa:
n=\left\lceil \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2} \right\rceil.
  • Para 99\% de confiança e E=3 obtemos o caso específico
n=\left\lceil \left(\frac{2{,}5758\,\sigma}{3}\right)^{2} \right\rceil.
  • Dica encorajadora: se na prova não der \sigma, escreva a fórmula em função de \sigma (como acima) e, se for pedido um número, proponha um valor razoável para \sigma (por exemplo obtido de dados anteriores) — mostre o raciocínio.

Resposta

n=\left\lceil \left(\dfrac{2{,}5758\,\sigma}{3}\right)^{2}\right\rceil

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