De que tamanho deveria ser a amostra a fim de estimar o tempo médio da população com erro máximo de 5 min . Com probabilidade de
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Pedido: determinar o tamanho da amostra necessário para estimar o tempo médio da população com erro máximo de
minutos e com probabilidade (nível de confiança) de . - Informações fornecidas no enunciado: erro máximo tolerado
minutos; nível de confiança . - Informação importante que NÃO foi fornecida no enunciado: o desvio-padrão populacional
(ou uma estimativa dele). Essa informação é necessária para obter um valor numérico para o tamanho da amostra.
Passo 2
Conceito e fórmula básica (explicação didática).
Quando o desvio-padrão populacional
é conhecido, o intervalo de confiança para a média
de uma população (quando a amostra é grande ou a população é normal) tem a forma
onde:
-
é a média amostral (estimador de ); -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (por exemplo, para de confiança tem-se e ); -
é o desvio-padrão populacional; -
é o tamanho da amostra.
Aqui o termo que multiplica
,
, vem da probabilidade associada ao nível de confiança: para
de confiança,
é o número tal que
para
.
Passo 3
Relação entre erro máximo
e
e como isolamos
.
O erro máximo tolerado
(metade da largura do intervalo de confiança) é dado por
Isolando
obtemos a fórmula de planejamento de amostra:
Explicando as variáveis:
-
é o tamanho da amostra que queremos achar; -
para de confiança é o quantil de nível da normal padrão; numericamente ; -
é o desvio-padrão populacional (a informação que falta); -
é o erro máximo desejado, aqui minutos.
Observação prática: após calcular
pela fórmula, sempre arredonde para cima (use o teto) para garantir que o erro máximo não seja ultrapassado.
Passo 4
Por que não dá para dar um único número agora — e o que fazer na prática.
Como
não foi fornecido, não é possível dar um valor numérico definitivo para
. Opções práticas na prova ou em aplicação real:
- usar uma estimativa de
proveniente de estudos anteriores ou de uma amostra piloto; - se nada for conhecido, recolher uma pequena amostra piloto (por exemplo
ou ), calcular o desvio-padrão amostral e substituir por na fórmula (e, se necessário, iterar); - escolher um valor plausível de
e mostrar o resultado para esse caso (o enunciado de prova muitas vezes dá ou pede a fórmula).
Passo 5
Exemplos numéricos para ver como a fórmula funciona (usei
e
).
- Se
minutos:
- Se
minutos:
- Se
minutos:
- Se
minutos:
Esses exemplos servem para ver a sensibilidade de
a
. Note que
cresce com
.
Passo 6
Recomendações finais e passo a passo prático que pode usar na prova ou no trabalho:
- verificar se o enunciado fornece
. Se sim, aplique diretamente
com
, e arredonde para cima.
2. se não vier, explique (como aqui) que falta
e proponha usar uma estimativa
obtida de uma amostra piloto; então repita o cálculo com
substituído por
.
3. sempre arredonde para o próximo inteiro.
2. se
3. sempre arredonde
Resposta
O tamanho de amostra requerido é
com
. Como o enunciado não forneceu o desvio-padrão populacional
, não é possível calcular um valor numérico único para
.