De que tamanho deveria ser a amostra a fim de estimar o tempo médio da população com erro máximo de 5 min . Com probabilidade de 98 \% ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Pedido: determinar o tamanho da amostra necessário para estimar o tempo médio da população com erro máximo de 5 minutos e com probabilidade (nível de confiança) de 98\%.
  • Informações fornecidas no enunciado: erro máximo tolerado E=5 minutos; nível de confiança 98\%.
  • Informação importante que NÃO foi fornecida no enunciado: o desvio-padrão populacional \sigma (ou uma estimativa dele). Essa informação é necessária para obter um valor numérico para o tamanho da amostra.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (explicação didática).
Quando o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média \mu de uma população (quando a amostra é grande ou a população é normal) tem a forma
\bar X \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar X é a média amostral (estimador de \mu);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (por exemplo, para 98\% de confiança tem-se \alpha=0,02 e \alpha/2=0,01);
  • \sigma é o desvio-padrão populacional;
  • n é o tamanho da amostra.
Aqui o termo que multiplica \sigma/\sqrt{n}, z_{\alpha/2}, vem da probabilidade associada ao nível de confiança: para 98\% de confiança, z_{0,01} é o número tal que P(Z>z_{0,01})=0,01 para Z\sim N(0,1).

Passo 3

Relação entre erro máximo E e n e como isolamos n.
O erro máximo tolerado E (metade da largura do intervalo de confiança) é dado por
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Isolando n obtemos a fórmula de planejamento de amostra:
n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}.
Explicando as variáveis:
  • n é o tamanho da amostra que queremos achar;
  • z_{\alpha/2} para 98\% de confiança é o quantil de nível 1-0,01 da normal padrão; numericamente \displaystyle z_{0,01}\approx 2,3263;
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (a informação que falta);
  • E é o erro máximo desejado, aqui E=5 minutos.
Observação prática: após calcular n pela fórmula, sempre arredonde para cima (use o teto) para garantir que o erro máximo não seja ultrapassado.

Passo 4

Por que não dá para dar um único número agora — e o que fazer na prática.
Como \sigma não foi fornecido, não é possível dar um valor numérico definitivo para n. Opções práticas na prova ou em aplicação real:
  • usar uma estimativa de \sigma proveniente de estudos anteriores ou de uma amostra piloto;
  • se nada for conhecido, recolher uma pequena amostra piloto (por exemplo n_0=20 ou 30), calcular o desvio-padrão amostral s e substituir \sigma por s na fórmula (e, se necessário, iterar);
  • escolher um valor plausível de \sigma e mostrar o resultado para esse caso (o enunciado de prova muitas vezes dá \sigma ou pede a fórmula).

Passo 5

Exemplos numéricos para ver como a fórmula funciona (usei \displaystyle z_{0,01}\approx 2,3263 e E=5).
  • Se \sigma=5 minutos:
n=\left(\frac{2,3263\cdot 5}{5}\right)^{2}=(2,3263)^{2}\approx 5,411\;\Rightarrow\;n=6.
  • Se \sigma=10 minutos:
n=\left(\frac{2,3263\cdot 10}{5}\right)^{2}=\left(4,6526\right)^{2}\approx 21,647\;\Rightarrow\;n=22.
  • Se \sigma=15 minutos:
n=\left(\frac{2,3263\cdot 15}{5}\right)^{2}=\left(6,9789\right)^{2}\approx 48,704\;\Rightarrow\;n=49.
  • Se \sigma=20 minutos:
n=\left(\frac{2,3263\cdot 20}{5}\right)^{2}=\left(9,3052\right)^{2}\approx 86,585\;\Rightarrow\;n=87.
Esses exemplos servem para ver a sensibilidade de n a \sigma. Note que n cresce com \sigma^{2}.

Passo 6

Recomendações finais e passo a passo prático que pode usar na prova ou no trabalho:
  1. verificar se o enunciado fornece \sigma. Se sim, aplique diretamente
n=\left(\frac{z_{0,01}\,\sigma}{5}\right)^{2},
com z_{0,01}\approx 2,3263, e arredonde para cima.
2. se \sigma não vier, explique (como aqui) que falta \sigma e proponha usar uma estimativa s obtida de uma amostra piloto; então repita o cálculo com \sigma substituído por s.
3. sempre arredonde n para o próximo inteiro.

Resposta

O tamanho de amostra requerido é
n=\left(\frac{z_{0,01}\,\sigma}{5}\right)^{2},
com z_{0,01}\approx 2,3263. Como o enunciado não forneceu o desvio-padrão populacional \sigma, não é possível calcular um valor numérico único para n.

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