Solicitou-se a 61 estudantes de um colégio que anotassem suas despesas com alimentação e bebidas no período de uma semana. O resultado foi uma despesa média de
20,00
\mathrm{R} $5,00$. Admita que a variável despesas com alimentação e bebidas seja normal.
Construa um intervalo de
de confiança para a verdadeira média.
Construa um intervalo de
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dados observados (peguei estes valores do enunciado):
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio padrão amostral:
.
- Tamanho da amostra:
- Pressuposto dado: as despesas seguem uma distribuição normal.
- Pergunta: construir um intervalo de confiança de
para a verdadeira (populacional) média das despesas.
Passo 2
O que é um intervalo de confiança (IC) e a fórmula que vamos usar.
- Um intervalo de confiança de nível
para a média populacional procura dar um intervalo que, com probabilidade , contenha . - Quando a variância populacional é desconhecida (caso usual), usa-se a distribuição
de Student. A fórmula do IC bilateral é:
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o desvio padrão amostral (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade, tal que a área à direita é ; -
é o erro padrão da média (a incerteza típica de ).
Explicando com calma:
mede quanto a média amostral tende a variar de amostra para amostra; multiplicando por
ajustamos essa variação para o nível de confiança desejado.
Passo 3
Escolha entre
ou
e graus de liberdade.
- A variância populacional não foi fornecida, só temos
, então o procedimento rigoroso é usar a distribuição . - O nível de confiança pedido é
, logo e . - Os graus de liberdade são
.
Assim precisamos do valor crítico
.
Passo 4
Obter o valor crítico
.
- Consultando uma tabela
ou calculadora estatística (esta é a maneira prática numa prova com tabela), encontra-se
(Se só houver tabela com poucos graus de liberdade, usar a linha mais próxima; para
este valor é um pouco maior que o
correspondente
.)
Passo 5
Calcular o erro padrão e a margem de erro.
- Erro padrão da média:
Vamos calcular passo a passo sem pular etapas:
-
. - Portanto
- Margem de erro (multiplicando pelo
crítico):
Observação rápida e prática: sem calculadora dá para estimar
e seguir as divisões e multiplicações com aproximações; o que importa é ficar com uma margem em torno de
.
Passo 6
Construir o intervalo de confiança final somando/subtraindo a margem à média.
- Limite inferior:
- Limite superior:
Arredondando para centavos (duas casas decimais), fica
até
.
Passo 7
Interpretação final (como escrever numa resposta de prova).
- Podemos dizer: “Com
de confiança, a verdadeira média das despesas semanais com alimentação e bebidas está entre e .” - Comentário amigo: se alguém usasse
(valor ) obteria um intervalo um pouco mais estreito (margem ≈ ), mas a escolha correta quando substitui é usar .