Solicitou-se a 61 estudantes de um colégio que anotassem suas despesas com alimentação e bebidas no período de uma semana. O resultado foi uma despesa média de \mathrm{R} \ 20,00 com um desvio padrão deã\mathrm{R} $5,00$. Admita que a variável despesas com alimentação e bebidas seja normal.
Construa um intervalo de 99 \% de confiança para a verdadeira média.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dados observados (peguei estes valores do enunciado):
    • Tamanho da amostra: n=61.
    • Média amostral: \bar{x}= \mathrm{R}\$\,20{,}00.
    • Desvio padrão amostral: s=\mathrm{R}\$\,5{,}00.
  • Pressuposto dado: as despesas seguem uma distribuição normal.
  • Pergunta: construir um intervalo de confiança de 99\% para a verdadeira (populacional) média das despesas.

Passo 2

O que é um intervalo de confiança (IC) e a fórmula que vamos usar.
  • Um intervalo de confiança de nível 100(1-\alpha)\% para a média populacional \mu procura dar um intervalo que, com probabilidade 1-\alpha, contenha \mu.
  • Quando a variância populacional é desconhecida (caso usual), usa-se a distribuição t de Student. A fórmula do IC bilateral é:
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \mathrm{R}\$\,20{,}00);
  • s é o desvio padrão amostral (aqui \mathrm{R}\$\,5{,}00);
  • n é o tamanho da amostra (aqui 61);
  • t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade, tal que a área à direita é \alpha/2;
  • \frac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (a incerteza típica de \bar{x}).
Explicando com calma: \frac{s}{\sqrt{n}} mede quanto a média amostral tende a variar de amostra para amostra; multiplicando por t_{\alpha/2,\,n-1} ajustamos essa variação para o nível de confiança desejado.

Passo 3

Escolha entre z ou t e graus de liberdade.
  • A variância populacional não foi fornecida, só temos s, então o procedimento rigoroso é usar a distribuição t.
  • O nível de confiança pedido é 99\%, logo \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005.
  • Os graus de liberdade são n-1=61-1=60.
Assim precisamos do valor crítico t_{0{,}005,\,60}.

Passo 4

Obter o valor crítico t_{0{,}005,\,60}.
  • Consultando uma tabela t ou calculadora estatística (esta é a maneira prática numa prova com tabela), encontra-se
t_{0{,}005,\,60}\approx 2{,}660.
(Se só houver tabela com poucos graus de liberdade, usar a linha mais próxima; para df=60 este valor é um pouco maior que o z correspondente z_{0{,}005}\approx 2{,}576.)

Passo 5

Calcular o erro padrão e a margem de erro.
  • Erro padrão da média:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{5{,}00}{\sqrt{61}}.
Vamos calcular passo a passo sem pular etapas:
  • \sqrt{61}\approx 7{,}8102497.
  • Portanto
\frac{5{,}00}{\sqrt{61}}\approx \frac{5{,}00}{7{,}8102497}\approx 0{,}6401844\\ (\mathrm{R}\$).
  • Margem de erro (multiplicando pelo t crítico):
\text{margem}=t_{0{,}005,60}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2{,}660\cdot 0{,}6401844\approx 1{,}7029\\ (\mathrm{R}\$).
Observação rápida e prática: sem calculadora dá para estimar \sqrt{61}\approx 7{,}81 e seguir as divisões e multiplicações com aproximações; o que importa é ficar com uma margem em torno de \mathrm{R}\$\,1{,}70.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança final somando/subtraindo a margem à média.
  • Limite inferior:
\bar{x}-\text{margem}=20{,}00-1{,}7029\approx 18{,}2971\\ (\mathrm{R}\$).
  • Limite superior:
\bar{x}+\text{margem}=20{,}00+1{,}7029\approx 21{,}7029\\ (\mathrm{R}\%).
Arredondando para centavos (duas casas decimais), fica \mathrm{R}\$\,18{,}30 até \mathrm{R}\$\,21{,}70.

Passo 7

Interpretação final (como escrever numa resposta de prova).
  • Podemos dizer: “Com 99\% de confiança, a verdadeira média das despesas semanais com alimentação e bebidas está entre \mathrm{R}\$\,18{,}30 e \mathrm{R}\$\,21{,}70.”
  • Comentário amigo: se alguém usasse z (valor 2{,}576) obteria um intervalo um pouco mais estreito (margem ≈ \mathrm{R}\$\,1{,}65), mas a escolha correta quando s substitui \sigma é usar t.

Resposta

\mathrm{IC}_{99\%} = \big(\mathrm{R}\$\,18{,}30,\\ \mathrm{R}\$\,21{,}70\big)

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