O tamanho de um parafuso tem a seguinte função densidade de probabilidade, fX(x)=k(x-1)(3-x) se x in[1,3]. Encontre a variância desta variável aleatória.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função densidade de probabilidade de um parafuso, que é dada por $ f_{X}(x) = k(x-1)(3-x) $ no intervalo $ x \in [1, 3] $. Nosso objetivo é encontrar a variância dessa variável aleatória. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções de densidade, encontrar constantes de normalização, calcular a esperança matemática (média) e, por fim, a variância.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ k $. A função densidade de probabilidade deve integrar para 1 no intervalo dado. Então, vamos calcular a integral de $ f_{X}(x) $ de 1 a 3 e igualar a 1:
k

Passo 3

Vamos simplificar a expressão $ (x-1)(3-x) $. Expandindo:
(x-1)(3-x)
Então, a integral fica:
(x-1)(3-x) = -x^2 + 4x - 3

Passo 4

Agora, calculamos a integral:
integral1^3 (-x^2 + 4x - 3) , dx = [ -x^33 + 2x^2 - 3x ]1^3
Calculando nos limites:
Para $ x = 3 $:
x = 3
Para $ x = 1 $:
-273 + 2(9) - 9 = -9 + 18 - 9 = 0
Então, a integral total é:
x = 1

Passo 5

Voltando à equação inicial para encontrar $ k $:
k

Passo 6

Agora que temos $ k = \frac{3}{4} $, a função densidade fica:
k = 34

Passo 7

Vamos calcular a esperança matemática $ E(X) $, que é:
E(X)
Primeiro, expandimos $ x(x-1)(3-x) $:
E(X) = integral1^3 x cdot fX(x) , dx = 34 integral1^3 x(x-1)(3-x) , dx
Então,
x(x-1)(3-x)

Passo 8

Calculando a integral:
integral1^3 (-x^3 + 4x^2 -3x) , dx = [ -x^44 + 4x^33 - 3x^22 ]1^3
Para $ x = 3 $:
x = 3
Para $ x = 1 $:
-814 + 4 cdot 273 - 272 = -814 + 36 - 272 = -814 + 1444 - 544 = 94
Então, a integral total é:
x = 1
Portanto,
-14 + 43 - 32 = -14 + 1612 - 1812 = -14 - 212 = -14 - 16 = -512

Passo 9

Agora, vamos calcular $ E(X^2) $:
E(X^2)
Expandindo $ x^2(x-1)(3-x) $:
E(X^2) = integral1^3 x^2 cdot fX(x) , dx = 34 integral1^3 x^2(x-1)(3-x) , dx
Então,
x^2(x-1)(3-x)

Passo 10

Calculando a integral:
integral1^3 (-x^4 + 4x^3 -3x^2) , dx = [ -x^55 + x^4 - x^3 ]1^3
Para $ x = 3 $:
x = 3
Para $ x = 1 $:
-2435 + 81 - 27 = -2435 + 54 = -2435 + 2705 = 275
Então, a integral total é:
x = 1
Portanto,
-15 + 1 - 1 = -15

Passo 11

Finalmente, a variância $ Var(X) $ é dada por:
Var(X)

Resposta

A variância da variável aleatória é $ Var(X) = 0.2 $.

Exercícios relacionados