O tamanho de um parafuso tem a seguinte função densidade de probabilidade,
se
. Encontre a variância desta variável aleatória.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função densidade de probabilidade de um parafuso, que é dada por $ f_{X}(x) = k(x-1)(3-x) $ no intervalo $ x \in [1, 3] $. Nosso objetivo é encontrar a variância dessa variável aleatória. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções de densidade, encontrar constantes de normalização, calcular a esperança matemática (média) e, por fim, a variância.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ k $. A função densidade de probabilidade deve integrar para 1 no intervalo dado. Então, vamos calcular a integral de $ f_{X}(x) $ de 1 a 3 e igualar a 1:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão $ (x-1)(3-x) $. Expandindo:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, calculamos a integral:
Calculando nos limites:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = 1 $:
Então, a integral total é:
Passo 5
Voltando à equação inicial para encontrar $ k $:
Passo 6
Agora que temos $ k = \frac{3}{4} $, a função densidade fica:
Passo 7
Vamos calcular a esperança matemática $ E(X) $, que é:
Primeiro, expandimos $ x(x-1)(3-x) $:
Então,
Passo 8
Calculando a integral:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = 1 $:
Então, a integral total é:
Portanto,
Passo 9
Agora, vamos calcular $ E(X^2) $:
Expandindo $ x^2(x-1)(3-x) $:
Então,
Passo 10
Calculando a integral:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = 1 $:
Então, a integral total é:
Portanto,
Passo 11
Finalmente, a variância $ Var(X) $ é dada por:
Resposta
A variância da variável aleatória é $ Var(X) = 0.2 $.