Considere 3 lançamentos independentes de uma moeda honesta e defina
como a diferença entre o número de caras e o de coroas.
(d) Obtenha a função de probabilidades de
.
(d) Obtenha a função de probabilidades de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem 3 lançamentos de uma moeda justa, e estamos definindo a variável aleatória $ X $ como a diferença entre o número de caras e o número de coroas. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de probabilidades de $ X $, ou seja, descobrir quais são as probabilidades de $ X $ assumir cada um dos seus possíveis valores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os possíveis resultados quando lançamos uma moeda 3 vezes. Cada lançamento pode dar cara © ou coroa (K), e como são 3 lançamentos, temos $ 2^3 = 8 $ combinações possíveis. Vamos listá-las:
- CCC
- CCK
- C KC
- KCC
- CKK
- KCK
- KK C
- KKK
Passo 3
Agora, vamos calcular o número de caras e coroas em cada combinação para determinar os possíveis valores de $ X $:
- CCC: 0 caras, 3 coroas → $ X = 0 - 3 = -3 $
- CCK: 2 caras, 1 coroa → $ X = 2 - 1 = 1 $
- C KC: 2 caras, 1 coroa → $ X = 2 - 1 = 1 $
- KCC: 2 caras, 1 coroa → $ X = 2 - 1 = 1 $
- CKK: 1 cara, 2 coroas → $ X = 1 - 2 = -1 $
- KCK: 1 cara, 2 coroas → $ X = 1 - 2 = -1 $
- KK C: 1 cara, 2 coroas → $ X = 1 - 2 = -1 $
- KKK: 0 caras, 3 coroas → $ X = 0 - 3 = -3 $
Então, os possíveis valores de $ X $ são: -3, -1, 1 e 3.
Passo 4
Agora, vamos determinar a probabilidade de cada valor de $ X $. Como a moeda é justa, cada uma das 8 combinações tem a mesma probabilidade de ocorrer, que é $ \frac{1}{8} $.
-
$ X = -3 $: ocorre quando temos 0 caras e 3 coroas. Isso acontece em 2 das 8 combinações → $ P(X = -3) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $.
-
$ X = -1 $: ocorre quando temos 1 cara e 2 coroas. Isso acontece em 3 das 8 combinações → $ P(X = -1) = \frac{3}{8} $.
-
$ X = 1 $: ocorre quando temos 2 caras e 1 coroa. Isso acontece em 3 das 8 combinações → $ P(X = 1) = \frac{3}{8} $.
-
$ X = 3 $: ocorre quando temos 3 caras e 0 coroas. Isso acontece em 2 das 8 combinações → $ P(X = 3) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $.
Resposta
A função de probabilidades de $ X $ é dada por: