Estude a série dada com relação a convergência ou divergência.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
com
. O conteúdo envolvido é séries numéricas e o teste da integral imprópria, que compara a soma com uma integral para analisar convergência.
Passo 2
Observamos que os termos só ficam bem definidos para
(pois
e
só existem e são não nulos para
e
). Como finito número de termos iniciais não altera a convergência, estudamos o comportamento da cauda da série a partir de
.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral, comparando com a integral imprópria correspondente:
Fazemos a primeira substituição para simplificar o integrando: seja
Em seguida, fazemos
, logo
, e os limites passam de
até
. A integral fica
Passo 4
Para
, temos
. A primitiva de
é
. Ao avaliar no limite superior
, obtém-se
ou seja, a integral diverge. Pelo teste da integral imprópria, se a integral correspondente diverge, a série original também diverge.
Resposta
A série diverge.