Estude a série dada com relação a convergência ou divergência.
sumk=0^+infty 1k ln k[ln (ln k)]^alpha, 0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumk=0^+infty 1k,ln k,[ln(ln k)]^alpha com 0. O conteúdo envolvido é séries numéricas e o teste da integral imprópria, que compara a soma com uma integral para analisar convergência.

Passo 2

Observamos que os termos só ficam bem definidos para k>=3 (pois ln k e ln(ln k) só existem e são não nulos para k>1 e ln k>1). Como finito número de termos iniciais não altera a convergência, estudamos o comportamento da cauda da série a partir de k=3.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, comparando com a integral imprópria correspondente:
integral3^+infty dxx,ln x,[ln(ln x)]^alpha
Fazemos a primeira substituição para simplificar o integrando: seja u=ln x, então du=dx/x. Os limites vão de u=ln3 até u=+infty. A integral vira
integralln3^+infty duu,[ln u]^alpha
Em seguida, fazemos v=ln u, logo dv=du/u, e os limites passam de v=ln(ln3) até v=+infty. A integral fica
integralln(ln3)^+infty dvv^alpha = integralln(ln3)^+infty v^-alpha,dv

Passo 4

Para 0, temos 1-alpha>0. A primitiva de v^-alpha é v^1-alpha/(1-alpha). Ao avaliar no limite superior vto+infty, obtém-se
limvto+infty v^1-alpha1-alpha = +infty,
ou seja, a integral diverge. Pelo teste da integral imprópria, se a integral correspondente diverge, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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