O tanque abaixo está sendo enchido com água por duas entradas unidimensionais. O ar está preso no topo do tanque. A altura da água é h. Encontre uma expressão para a mudança na altura da água dh/dt. ( 2,00 Pontos )

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um tanque (com formato qualquer) sendo enchido por duas entradas unidimensionais, prendendo ar lá no topo. A altura da água no tanque é , e a gente quer achar .
Conteúdo: relacionamento entre volume de líquido e taxa de variação (derivadas) + regra da cadeia. Vamos precisar:
  • Expressar o volume de água em função de .
  • Saber que a taxa de variação de volume é a soma dos fluxos que entram.
  • Aplicar derivada (regra da cadeia) para ligar a .

Passo 2

Volume em função de V(h) = A(h),cdot h :
Se o tanque tem área de seção transversal (na horizontal) igual a — que pode ser constante (cilindro) ou variar com (cono, pirâmide etc.) — então
No caso mais simples, o tanque cilíndrico, constante e .

Passo 3

Derivando em relação ao tempo:
Pela regra da cadeia,
dVdt ;=;ddtl[A(h),hr]
Se dVdt = A,dhdt for constante, isso vira
(Se dependesse de , teria também o termo , mas aqui assumimos área constante ou incorporamos a variação em .)

Passo 4

Agora, pelas leis de conservação de massa/volume, a variação de volume no tanque é exatamente a soma das vazões de entrada:
dVdt = Q1 + Q2,
onde e são as vazões (em , por exemplo) das duas entradas.

Passo 5

Basta igualar as duas expressões para A,dhdt = Q1 + Q2 Longrightarrow dhdt = Q1 + Q2A :

Resposta

boxeddhdt ;=;Q1 + Q2A,

Exercícios relacionados