tanque abaixo está sendo enchido com água por duas entradas unidimensionais.
ar está preso no topo do tanque. A altura da água é h. Encontre uma expressão para a mudança na altura da água dh/dt. ( 2,00 Pontos )
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um tanque (com formato qualquer) sendo enchido por duas entradas unidimensionais, prendendo ar lá no topo. A altura da água no tanque é
, e a gente quer achar
.
Conteúdo: relacionamento entre volume de líquido e taxa de variação (derivadas) + regra da cadeia. Vamos precisar:
Conteúdo: relacionamento entre volume de líquido e taxa de variação (derivadas) + regra da cadeia. Vamos precisar:
- Expressar o volume de água
em função de . - Saber que a taxa de variação de volume
é a soma dos fluxos que entram. - Aplicar derivada (regra da cadeia) para ligar
a .
Passo 2
Volume em função de
:
Se o tanque tem área de seção transversal (na horizontal) igual a — que pode ser constante (cilindro) ou variar com
(cono, pirâmide etc.) — então
Se o tanque tem área de seção transversal (na horizontal) igual a
No caso mais simples, o tanque cilíndrico,
constante e
.
Passo 3
Derivando em relação ao tempo:
Pela regra da cadeia,
Pela regra da cadeia,
Se
for constante, isso vira
(Se
dependesse de
, teria também o termo
, mas aqui assumimos área constante ou incorporamos a variação em
.)
Passo 4
Agora, pelas leis de conservação de massa/volume, a variação de volume no tanque é exatamente a soma das vazões de entrada:
onde
e
são as vazões (em
, por exemplo) das duas entradas.
Passo 5
Basta igualar as duas expressões para
: