Um tanque de água está completamente cheio com água líquida a
material do tanque é tal que pode suportar tensões causadas por uma expansão volumétrica de
. Determine o aumento máximo de temperatura permitido sem comprometer a segurança. Para simplificar, assuma que o coeficiente de expansão volumétrica
é constante e igual ao seu valor a
. (Resp.
)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- O tanque está completamente cheio com água líquida à temperatura inicial
. - O material do tanque suporta tensões correspondentes a uma expansão volumétrica máxima de
. Vou escrever isso como fração: . - Pede-se o aumento máximo de temperatura permitido (isto é,
) sem comprometer a segurança. Também posso dar a temperatura final máxima . - Foi dada a instrução de assumir que o coeficiente de expansão volumétrica
é constante e igual ao seu valor a .
Passo 2
Fórmula básica e interpretação (a “aula” curta):
- Para uma variação de temperatura relativamente pequena, a variação relativa de volume de um líquido é dada pela relação linear
- O que significa cada símbolo:
-
é a variação relativa do volume (sem unidade), por exemplo para . -
é o coeficiente de expansão volumétrica do líquido, com unidade . Ele diz quanto o volume relativo muda por grau Celsius. -
é o aumento de temperatura em .
-
- Observação prática: a relação é uma aproximação linear válida se
for tomado como constante na faixa de temperatura considerada (é exatamente a hipótese do enunciado).
Passo 3
Montar a equação para o caso e isolar
:
- Como a expansão máxima permitida é
, impondo isso em obtemos
- Isolando
,
Passo 4
Escolher o valor de
e calcular numericamente (usei valor tabulado para água a
):
- Pelo enunciado, uso o valor de
à . Tomando o valor tabulado aproximado
(esse valor é um valor de referência para água líquido por volta de
).
- Substituindo em
,
- A temperatura final máxima será
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida (um jeito de lembrar na prova):
- Intuitivamente: permitir
de aumento de volume com um da ordem de dá um aumento de temperatura da ordem de , o que bate com o resultado numérico. - Exemplo rápido para fixar: se a água esquentasse
com esse , a fração seria aproximadamente (ou ). Aqui precisamos de , por isso o dá cerca de .