Um tanque de água está completamente cheio com água líquida a 20^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} material do tanque é tal que pode suportar tensões causadas por uma expansão volumétrica de 0,8 \%. Determine o aumento máximo de temperatura permitido sem comprometer a segurança. Para simplificar, assuma que o coeficiente de expansão volumétrica \beta é constante e igual ao seu valor a 40^{\circ} \mathrm{C}. (Resp. 39,8^{\circ} \mathrm{C} )

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • O tanque está completamente cheio com água líquida à temperatura inicial \,20^\circ\mathrm{C}\,.
  • O material do tanque suporta tensões correspondentes a uma expansão volumétrica máxima de 0{,}8\%. Vou escrever isso como fração: \dfrac{\Delta V}{V}=0{,}8\%=0{,}008.
  • Pede-se o aumento máximo de temperatura permitido (isto é, \Delta T_{\max}) sem comprometer a segurança. Também posso dar a temperatura final máxima T_{\max}=20^\circ\mathrm{C}+\Delta T_{\max}.
  • Foi dada a instrução de assumir que o coeficiente de expansão volumétrica \beta é constante e igual ao seu valor a 40^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Fórmula básica e interpretação (a “aula” curta):
  • Para uma variação de temperatura relativamente pequena, a variação relativa de volume de um líquido é dada pela relação linear
\frac{\Delta V}{V}=\beta\,\Delta T.
  • O que significa cada símbolo:
    • \dfrac{\Delta V}{V} é a variação relativa do volume (sem unidade), por exemplo 0{,}008 para 0{,}8\%.
    • \beta é o coeficiente de expansão volumétrica do líquido, com unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}. Ele diz quanto o volume relativo muda por grau Celsius.
    • \Delta T é o aumento de temperatura em ^\circ\mathrm{C}.
  • Observação prática: a relação é uma aproximação linear válida se \beta for tomado como constante na faixa de temperatura considerada (é exatamente a hipótese do enunciado).

Passo 3

Montar a equação para o caso e isolar \Delta T:
  • Como a expansão máxima permitida é \dfrac{\Delta V}{V}=0{,}008, impondo isso em \dfrac{\Delta V}{V}=\beta\,\Delta T obtemos
0{,}008=\beta\,\Delta T_{\max}.
  • Isolando \Delta T_{\max},
\Delta T_{\max}=\frac{0{,}008}{\beta}.

Passo 4

Escolher o valor de \beta e calcular numericamente (usei valor tabulado para água a 40^\circ\mathrm{C}):
  • Pelo enunciado, uso o valor de \beta à 40^\circ\mathrm{C}. Tomando o valor tabulado aproximado
\beta(40^\circ\mathrm{C})=4{,}04\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1},
(esse valor é um valor de referência para água líquido por volta de 40^\circ\mathrm{C}).
  • Substituindo em \Delta T_{\max}=\dfrac{0{,}008}{\beta},
\Delta T_{\max}=\frac{0{,}008}{4{,}04\times10^{-4}} \approx 19{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • A temperatura final máxima será
T_{\max}=20^\circ\mathrm{C}+\Delta T_{\max}=20^\circ\mathrm{C}+19{,}8^\circ\mathrm{C}=39{,}8^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida (um jeito de lembrar na prova):
  • Intuitivamente: permitir 0{,}8\% de aumento de volume com um \beta da ordem de 4\times10^{-4}\,^\circ\mathrm{C}^{-1} dá um aumento de temperatura da ordem de 10^1\\ ^\circ\mathrm{C}, o que bate com o resultado numérico.
  • Exemplo rápido para fixar: se a água esquentasse 10^\circ\mathrm{C} com esse \beta, a fração \Delta V/V seria aproximadamente 4{,}04\times10^{-4}\times10=0{,}00404 (ou 0{,}404\%). Aqui precisamos de 0{,}8\%, por isso o \Delta T dá cerca de 20^\circ\mathrm{C}.

Resposta

39{,}8^\circ\mathrm{C}

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