Água e ar estão separados por uma parede plana de aço doce. Propõe-se aumentar a taxa de transferência de calor entre esses fluidos por meio da adição de aletas retas, de 1,27 \mathrm{~mm} de espessura e 2,5 \mathrm{~cm} de comprimento, espaçadas por 1,27 \mathrm{~cm}. Os coeficientes de transferência de calor no lado do ar e no lado da água são constantes e iguais, respectivamente, a 11,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e 256 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Determine a variação percentual na transferência total quando as aletas são colocadas (a) no lado da água, (b) no lado do ar e (c) em ambos os lados.
Observação: Sugiro que refaçam também os exemplos ministrados em aula!

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede a variação percentual na transferência total de calor quando se acrescentam aletas retas:
    • (a) no lado da água;
    • (b) no lado do ar;
    • (c) em ambos os lados.
  • Dados fornecidos:
    • espessura da aleta t=1{,}27\\ \mathrm{mm}=0{,}00127\\ \mathrm{m};
    • comprimento da aleta L=2{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}025\\ \mathrm{m};
    • espaçamento entre aletas p=1{,}27\\ \mathrm{cm}=0{,}0127\\ \mathrm{m} (aqui vou interpretar o “espaçamento” como o passo entre aletas, isto é, distâncias centro-a-centro p; a diferença entre interpretar como folga é pequena frente aos números dados);
    • coeficiente convectivo do ar h_{\mathrm{ar}}=11{,}4\\ \mathrm{W/m^{2}K};
    • coeficiente convectivo da água h_{\mathrm{água}}=256\\ \mathrm{W/m^{2}K}á.
Observações / hipóteses que vou usar (não posso perguntar mais dados, então explico as suposições):
  • Vou comparar por unidade de área projetada da parede (usar 1 m de profundidade na direção fora do plano), isto é, considerar 1 \,\mathrm{m^{2}} de parede projetada.
  • Vou desprezar a resistência térmica da própria parede metálica (assumindo-a muito fina e com alta condutividade relativa às convecções), de forma que a resistência global inicial é só a soma das resistências convectivas dos dois lados.
  • As aletas são de aço doce; assumirei condutividade térmica típica do aço doce k=54\\ \mathrm{W/mK} (valor tabelado típico). Vou explicitar quando essa suposição influencia resultados.
  • Para a eficiência da aleta uso a formulação clássica para aletas retas de seção retangular, com convecção em ambas as faces e aproximação pela expressão com ponta efetivamente isolada (aproximação usual e suficientemente precisa aqui):
    • parâmetro da aleta m=\sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}};
    • eficiência de uma aleta \eta_{f}=\dfrac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.
      Essas fórmulas e essa aproximação serão explicadas no passo seguinte.
  • Vou incluir a pequena área da ponta da aleta no cálculo da área total; e a área da base ocupada pelas aletas reduz a área do plano descoberta entre aletas.

Passo 2

Conceitos essenciais e fórmula da condutância global sem aletas (estado inicial).
  • Explicando a ideia: a troca de calor através da parede (por unidade de área projetada) quando não há aletas é controlada pelas duas resistências convectivas em série: lado do ar e lado da água. Cada resistência convectiva por unidade de área é R_{\mathrm{conv}}=\dfrac{1}{h}. Portanto a condutância global U (por unidade de área projetada) é
U=\frac{1}{\dfrac{1}{h_{\mathrm{ar}}}+\dfrac{1}{h_{\mathrm{água}}}}.á
  • Vou calcular o valor inicial U_{0} (sem aletas). Usando os valores dados:
\frac{1}{h_{\mathrm{ar}}}=\frac{1}{11{,}4}=0{,}087719\dots, \qquad \frac{1}{h_{\mathrm{água}}}=\frac{1}{256}=0{,}00390625.á
Somando:
\dfrac{1}{h_{\mathrm{ar}}}+\dfrac{1}{h_{\mathrm{água}}}=0{,}0916255\\ (\mathrm{m^{2}K/W}).á
Logo
U_{0}=\frac{1}{0{,}0916255}=10{,}914\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
  • Interpretação pedagógica rápida: o ar tem um h bem menor (11,4) e portanto domina a resistência inicial. Ou seja, sem aletas o gargalo é o lado do ar.

Passo 3

Geometria das aletas por unidade de área projetada e como a presença de aletas modifica a “área convectiva efetiva”.
  • Pensando por 1\\ \mathrm{m} de largura (profundidade para fora do plano), o número de aletas por metro base é
N_{f}=\frac{1}{p}=\frac{1}{0{,}0127}=78{,}74015748\\ \text{aletas por metro}.
  • Área de uma aleta (por 1 m de profundidade), considerando as duas faces e a ponta:
A_{f,\text{única}}=2L + t.ú
Substituindo números:
A_{f,\text{única}}=2\cdot 0{,}025 + 0{,}00127 = 0{,}05127\\ \mathrm{m^{2}}.ú
  • Área total de aletas por 1\\ \mathrm{m^{2}} projetado:
A_{f,\text{total}} = N_{f}\,A_{f,\text{única}} = 78{,}74015748 \times 0{,}05127 \approx 4{,}0370\\ \mathrm{m^{2}}.ú
  • Fração da área da base ocupada pelas aletas (projeção da espessura sobre a base):
A_{\text{ocupada}} = N_{f}\,t = 78{,}74015748 \times 0{,}00127 = 0{,}100 \\ \mathrm{m^{2}}.
Portanto a área da base descoberta entre aletas é
A_{\text{base,desc}} = 1 - A_{\text{ocupada}} = 0{,}900\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Interpretação: por cada 1\\ \mathrm{m^{2}} projetado há 4{,}037\\ \mathrm{m^{2}} de área de aletas adicionais e 0{,}9\\ \mathrm{m^{2}} da parede exposta entre as aletas.

Passo 4

Como as aletas contribuem: eficiência da aleta e área convectiva efetiva.
  • Conceito importante: as superfícies das aletas não operam à mesma temperatura da base; cada aleta tem perda por condução ao longo do comprimento e por convecção na superfície. A “eficiência da aleta” \eta_{f} mede a razão entre o calor real dissipado pela aleta e o calor que seria dissipado se toda a aleta estivesse à temperatura da base. Assim, a contribuição real de área das aletas é \eta_{f}\,A_{f,\text{total}}.
  • Fórmula usada (reta, seção constante, convecção em duas faces): primeiro o parâmetro
m=\sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}},
onde h é o coeficiente convectivo do fluido que está do lado da aleta, k a condutividade do material da aleta e t a espessura da aleta. Em seguida usamos a aproximação padrão
\eta_{f}=\dfrac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.
Essa expressão é a que aparece em muitas tabelas e é uma boa aproximação quando a aleta é relativamente fina; inclui o efeito de convecção nas duas faces. (Explicação física curta: quanto maior mL, mais aleta “esfria” no extremo e menor a eficiência.)
  • Vou calcular m e \eta_{f} separadamente para o caso de aletas submetidas à água e ao ar (porque h é diferente).

Passo 5

Cálculo da eficiência da aleta e condutância efetiva quando as aletas estão do lado da água (caso a).
  • Usando h= h_{\mathrm{água}}=256\\ \mathrm{W/m^{2}K}á, k=54\\ \mathrm{W/mK}, t=0{,}00127\\ \mathrm{m}:
m=\sqrt{\dfrac{2\cdot 256}{54\cdot 0{,}00127}}=\sqrt{\dfrac{512}{0{,}06858}}\approx \sqrt{7467}\approx 86{,}45\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Produto mL:
mL=86{,}45\cdot 0{,}025\approx 2{,}161.
  • Eficiência da aleta:
\eta_{f,\mathrm{água}}=\dfrac{\operatorname{tanh}(2{,}161)}{2{,}161}\approx \dfrac{0{,}973}{2{,}161}\approx 0{,}450.á
(Interpretação: cada metro quadrado de superfície de aleta, quando submerso em água com h=256, atua como se fosse cerca de 45\% dessa área à temperatura da base.)
  • Área convectiva efetiva por unidade de área projetada no lado da água:
A_{\text{ef,água}} = A_{\text{base,desc}} + \eta_{f,\mathrm{água}}\,A_{f,\text{total}} =0{,}900 + 0{,}450\cdot 4{,}037\approx 2{,}7167\\ \mathrm{m^{2}/m^{2}}.áá
  • Assim a condutância equivalente desse lado (por unidade de área projetada) é
h_{\mathrm{água,ef}}=h_{\mathrm{água}}\;A_{\text{ef,água}}=256\cdot 2{,}7167\approx 695{,}48\\ \mathrm{W/m^{2}K}.ááá
  • Agora a condutância global com aletas apenas do lado da água é
U_{a}=\frac{1}{\dfrac{1}{h_{\mathrm{ar}}}+\dfrac{1}{h_{\mathrm{água,ef}}}} =\frac{1}{\dfrac{1}{11{,}4}+\dfrac{1}{695{,}48}}.á
Cálculo numérico:
\dfrac{1}{11{,}4}=0{,}087719,\qquad \dfrac{1}{695{,}48}=0{,}0014379,
U_{a}=\frac{1}{0{,}089157}\approx 11{,}216\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
  • Variação percentual relativa ao caso sem aletas:
\%\Delta_{a}=\frac{U_{a}-U_{0}}{U_{0}}\times 100\%=\frac{11{,}216-10{,}914}{10{,}914}\times 100\%\approx 2{,}77\%.
Conclusão provisória: colocar aletas no lado da água aumenta pouco (≈ 2{,}8\%) a transferência total — faz sentido porque a resistência já era pequena do lado da água; o gargalo continua sendo o ar.

Passo 6

Cálculo da eficiência da aleta e condutância efetiva quando as aletas estão do lado do ar (caso b).
  • Agora h=h_{\mathrm{ar}}=11{,}4\\ \mathrm{W/m^{2}K}. Calcular m:
m=\sqrt{\dfrac{2\cdot 11{,}4}{54\cdot 0{,}00127}}=\sqrt{\dfrac{22{,}8}{0{,}06858}}\approx \sqrt{332{,}6}\approx 18{,}24\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Produto mL:
mL=18{,}24\cdot 0{,}025\approx 0{,}456.
  • Eficiência da aleta no ar:
\eta_{f,\mathrm{ar}}=\dfrac{\operatorname{tanh}(0{,}456)}{0{,}456}\approx \dfrac{0{,}427}{0{,}456}\approx 0{,}938.
(Interpretação: como o ar tem baixa convecção, a aleta se mantém praticamente quase à temperatura da base ao longo do comprimento, então eficiência \sim 94\%.)
  • Área convectiva efetiva no lado do ar:
A_{\text{ef,ar}} = A_{\text{base,desc}} + \eta_{f,\mathrm{ar}}\,A_{f,\text{total}} =0{,}900 + 0{,}938\cdot 4{,}037\approx 4{,}685\\ \mathrm{m^{2}/m^{2}}.
  • Condutância equivalente do lado do ar:
h_{\mathrm{ar,ef}}=h_{\mathrm{ar}}\;A_{\text{ef,ar}}=11{,}4\cdot 4{,}685\approx 53{,}411\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
  • Agora a condutância global com aletas apenas do lado do ar:
U_{b}=\frac{1}{\dfrac{1}{h_{\mathrm{ar,ef}}}+\dfrac{1}{h_{\mathrm{água}}}} =\frac{1}{\dfrac{1}{53{,}411}+\dfrac{1}{256}}.á
Calcule:
\dfrac{1}{53{,}411}=0{,}01872,\qquad \dfrac{1}{256}=0{,}00390625,
U_{b}=\frac{1}{0{,}02262625}\approx 44{,}18\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
  • Variação percentual em relação a U_{0}:
\%\Delta_{b}=\frac{U_{b}-U_{0}}{U_{0}}\times 100\%=\frac{44{,}18-10{,}914}{10{,}914}\times 100\%\approx 304{,}9\%.
Interpretação: colocar aletas no lado do ar aumenta dramaticamente a transferência porque reduz muito a resistência dominante.

Passo 7

Caso (c): aletas em ambos os lados.
  • Já temos as condutâncias equivalentes por unidade de área projetada de cada lado quando aletas estão presentes:
    • lado do ar: h_{\mathrm{ar,ef}}\approx 53{,}411\\ \mathrm{W/m^{2}K} (do passo 6);
    • lado da água: h_{\mathrm{água,ef}}\approx 695{,}48\\ \mathrm{W/m^{2}K}á (do passo 5).
  • A condutância global com aletas em ambos os lados:
U_{ab}=\frac{1}{\dfrac{1}{h_{\mathrm{ar,ef}}}+\dfrac{1}{h_{\mathrm{água,ef}}}} =\frac{1}{\dfrac{1}{53{,}411}+\dfrac{1}{695{,}48}}.á
Calcule:
\dfrac{1}{53{,}411}=0{,}01872,\qquad \dfrac{1}{695{,}48}=0{,}0014379,
U_{ab}=\frac{1}{0{,}0201579}\approx 49{,}63\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
  • Variação percentual:
\%\Delta_{ab}=\frac{U_{ab}-U_{0}}{U_{0}}\times 100\%=\frac{49{,}63-10{,}914}{10{,}914}\times 100\%\approx 354{,}8\%.
Comentário físico: acrescentar aletas em ambos os lados aumenta um pouco mais do que só no ar, porque depois de “tirar” a grande resistência do ar, a resistência da água começa a ter alguma influência; ainda assim o ganho principal vem do lado do ar.

Passo 8

Resumo das aproximações e um pouco de incentivo (rápido).
  • Principais aproximações que usei:
    • condutividade do aço doce fixada em k=54\\ \mathrm{W/mK} (valor típico); se k fosse bem menor, a eficiência das aletas diminuiria e os resultados mudariam um pouco; se k fosse maior, a eficiência aumentaria.
    • uso da fórmula \eta_{f}=\operatorname{tanh}(mL)/(mL) (aproximação padrão); se fosse usada a formula exata com ponta convectiva, o resultado mudiria pouco (ponta contribui pouco).
    • interpretação do espaçamento como passo centro-a-centro p=0{,}0127\\ \mathrm{m}; se fosse a folga entre aletas em vez do passo, o número de aletas seria ligeiramente menor e os ganhos seriam um pouco menores.
  • Conclusão prática: se o objetivo é aumentar bastante a troca de calor para este sistema, colocar aletas no lado do ar é muito mais eficaz do que no lado da água — porque o ar é o limitante (menor h). Calma — no exame, mostre sempre que você identifica o gargalo de resistência antes de calcular aletas.

Resposta

(a) +2{,}77\%
(b) +304{,}9\%
(c) +354{,}8\%

Exercícios relacionados