Água e ar estão separados por uma parede plana de aço doce. Propõe-se aumentar a taxa de transferência de calor entre esses fluidos por meio da adição de aletas retas, de
de espessura e
de comprimento, espaçadas por
. Os coeficientes de transferência de calor no lado do ar e no lado da água são constantes e iguais, respectivamente, a
e
. Determine a variação percentual na transferência total quando as aletas são colocadas (a) no lado da água, (b) no lado do ar e (c) em ambos os lados.
Observação: Sugiro que refaçam também os exemplos ministrados em aula!
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Pede a variação percentual na transferência total de calor quando se acrescentam aletas retas:
- (a) no lado da água;
- (b) no lado do ar;
- (c) em ambos os lados.
- Dados fornecidos:
- espessura da aleta
; - comprimento da aleta
; - espaçamento entre aletas
(aqui vou interpretar o “espaçamento” como o passo entre aletas, isto é, distâncias centro-a-centro ; a diferença entre interpretar como folga é pequena frente aos números dados); - coeficiente convectivo do ar
; - coeficiente convectivo da água
.
- espessura da aleta
Observações / hipóteses que vou usar (não posso perguntar mais dados, então explico as suposições):
- Vou comparar por unidade de área projetada da parede (usar 1 m de profundidade na direção fora do plano), isto é, considerar 1
de parede projetada. - Vou desprezar a resistência térmica da própria parede metálica (assumindo-a muito fina e com alta condutividade relativa às convecções), de forma que a resistência global inicial é só a soma das resistências convectivas dos dois lados.
- As aletas são de aço doce; assumirei condutividade térmica típica do aço doce
(valor tabelado típico). Vou explicitar quando essa suposição influencia resultados. - Para a eficiência da aleta uso a formulação clássica para aletas retas de seção retangular, com convecção em ambas as faces e aproximação pela expressão com ponta efetivamente isolada (aproximação usual e suficientemente precisa aqui):
- parâmetro da aleta
; - eficiência de uma aleta
.
Essas fórmulas e essa aproximação serão explicadas no passo seguinte.
- parâmetro da aleta
- Vou incluir a pequena área da ponta da aleta no cálculo da área total; e a área da base ocupada pelas aletas reduz a área do plano descoberta entre aletas.
Passo 2
Conceitos essenciais e fórmula da condutância global sem aletas (estado inicial).
- Explicando a ideia: a troca de calor através da parede (por unidade de área projetada) quando não há aletas é controlada pelas duas resistências convectivas em série: lado do ar e lado da água. Cada resistência convectiva por unidade de área é
. Portanto a condutância global (por unidade de área projetada) é
- Vou calcular o valor inicial
(sem aletas). Usando os valores dados:
Somando:
Logo
- Interpretação pedagógica rápida: o ar tem um
bem menor (11,4) e portanto domina a resistência inicial. Ou seja, sem aletas o gargalo é o lado do ar.
Passo 3
Geometria das aletas por unidade de área projetada e como a presença de aletas modifica a “área convectiva efetiva”.
- Pensando por
de largura (profundidade para fora do plano), o número de aletas por metro base é
- Área de uma aleta (por 1 m de profundidade), considerando as duas faces e a ponta:
Substituindo números:
- Área total de aletas por
projetado:
- Fração da área da base ocupada pelas aletas (projeção da espessura sobre a base):
Portanto a área da base descoberta entre aletas é
- Interpretação: por cada
projetado há de área de aletas adicionais e da parede exposta entre as aletas.
Passo 4
Como as aletas contribuem: eficiência da aleta e área convectiva efetiva.
- Conceito importante: as superfícies das aletas não operam à mesma temperatura da base; cada aleta tem perda por condução ao longo do comprimento e por convecção na superfície. A “eficiência da aleta”
mede a razão entre o calor real dissipado pela aleta e o calor que seria dissipado se toda a aleta estivesse à temperatura da base. Assim, a contribuição real de área das aletas é . - Fórmula usada (reta, seção constante, convecção em duas faces): primeiro o parâmetro
onde
é o coeficiente convectivo do fluido que está do lado da aleta,
a condutividade do material da aleta e
a espessura da aleta. Em seguida usamos a aproximação padrão
Essa expressão é a que aparece em muitas tabelas e é uma boa aproximação quando a aleta é relativamente fina; inclui o efeito de convecção nas duas faces. (Explicação física curta: quanto maior
, mais aleta “esfria” no extremo e menor a eficiência.)
- Vou calcular
e separadamente para o caso de aletas submetidas à água e ao ar (porque é diferente).
Passo 5
Cálculo da eficiência da aleta e condutância efetiva quando as aletas estão do lado da água (caso a).
- Usando
, , :
- Produto
:
- Eficiência da aleta:
(Interpretação: cada metro quadrado de superfície de aleta, quando submerso em água com
, atua como se fosse cerca de
dessa área à temperatura da base.)
- Área convectiva efetiva por unidade de área projetada no lado da água:
- Assim a condutância equivalente desse lado (por unidade de área projetada) é
- Agora a condutância global com aletas apenas do lado da água é
Cálculo numérico:
- Variação percentual relativa ao caso sem aletas:
Conclusão provisória: colocar aletas no lado da água aumenta pouco (≈
) a transferência total — faz sentido porque a resistência já era pequena do lado da água; o gargalo continua sendo o ar.
Passo 6
Cálculo da eficiência da aleta e condutância efetiva quando as aletas estão do lado do ar (caso b).
- Agora
. Calcular :
- Produto
:
- Eficiência da aleta no ar:
(Interpretação: como o ar tem baixa convecção, a aleta se mantém praticamente quase à temperatura da base ao longo do comprimento, então eficiência
.)
- Área convectiva efetiva no lado do ar:
- Condutância equivalente do lado do ar:
- Agora a condutância global com aletas apenas do lado do ar:
Calcule:
- Variação percentual em relação a
:
Interpretação: colocar aletas no lado do ar aumenta dramaticamente a transferência porque reduz muito a resistência dominante.
Passo 7
Caso (c): aletas em ambos os lados.
- Já temos as condutâncias equivalentes por unidade de área projetada de cada lado quando aletas estão presentes:
- lado do ar:
(do passo 6); - lado da água:
(do passo 5).
- lado do ar:
- A condutância global com aletas em ambos os lados:
Calcule:
- Variação percentual:
Comentário físico: acrescentar aletas em ambos os lados aumenta um pouco mais do que só no ar, porque depois de “tirar” a grande resistência do ar, a resistência da água começa a ter alguma influência; ainda assim o ganho principal vem do lado do ar.
Passo 8
Resumo das aproximações e um pouco de incentivo (rápido).
- Principais aproximações que usei:
- condutividade do aço doce fixada em
(valor típico); se fosse bem menor, a eficiência das aletas diminuiria e os resultados mudariam um pouco; se fosse maior, a eficiência aumentaria. - uso da fórmula
(aproximação padrão); se fosse usada a formula exata com ponta convectiva, o resultado mudiria pouco (ponta contribui pouco). - interpretação do espaçamento como passo centro-a-centro
; se fosse a folga entre aletas em vez do passo, o número de aletas seria ligeiramente menor e os ganhos seriam um pouco menores.
- condutividade do aço doce fixada em
- Conclusão prática: se o objetivo é aumentar bastante a troca de calor para este sistema, colocar aletas no lado do ar é muito mais eficaz do que no lado da água — porque o ar é o limitante (menor
). Calma — no exame, mostre sempre que você identifica o gargalo de resistência antes de calcular aletas.
Resposta
(a)
(b)
(c)