Questão) Um tanque de aço (
), de formato esférico e raio interno de
e espessura de 5 mm , é isolado com
de lã de rocha (
). A temperatura da face interna do tanque é
e a da face externa do isolante é
. Após alguns anos de utilização, a lã de rocha foi substituída por outro isolante, também de
de espessura, tendo sido notado então um aumento de
no calor perdido para o ambiente ( mantiveram-se as demais condições ). Determinar :
a) fluxo de calor pelo tanque isolado com lã de rocha;
b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante;
c) qual deveria ser a espessura ( em polegadas ) do novo isolante para que se tenha o mesmo fluxo de calor que era trocado com a lã de rocha.
Solução: a)
b)
c)e
a) fluxo de calor pelo tanque isolado com lã de rocha;
b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante;
c) qual deveria ser a espessura ( em polegadas ) do novo isolante para que se tenha o mesmo fluxo de calor que era trocado com a lã de rocha.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que usaremos):
- Condutividade térmica do aço:
. - Raio interno da esfera (face interna do tanque):
. - Espessura da parede de aço:
. Assim a face externa do aço (raio externo do aço) é . - Isolante original: lã de rocha com espessura
. Converteremos para metros: . Assim a face externa do isolante original tem raio . - Condutividade térmica da lã de rocha:
. - Temperatura na face interna do tanque (superfície em
): . - Temperatura na face externa do isolante (superfície em
): . - Após troca do isolante por outro de mesma espessura, o calor perdido aumentou
. Mantêm-se e e o aço igual.
O enunciado pede:
(a) o fluxo de calor com a lã de rocha (ou seja em
);
(b) a condutividade térmica do novo isolante (que teve aumento de
no calor perdido);
(c) qual deveria ser a espessura do novo isolante (em polegadas) para restabelecer o mesmo fluxo de calor que havia com a lã de rocha.
(a) o fluxo de calor com a lã de rocha (ou seja
(b) a condutividade térmica
(c) qual deveria ser a espessura do novo isolante (em polegadas) para restabelecer o mesmo fluxo de calor que havia com a lã de rocha.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e intuitivas):
- Para condução radial estacionária através de uma camada esférica de raio interno
e raio externo e condutividade , a resistência térmica dessa camada é
Explicando:
tem unidades
. O termo
vem da geometria esférica e
representa o efeito do aumento de área radial. Quanto maior
, menor a resistência; quanto maior a espessura (maior diferença entre
e
), maior a resistência.
- Para várias camadas concêntricas, as resistências somam em série:
- O fluxo de calor (em módulo) é dado por
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao nosso problema — vamos calcular primeiro as resistências das duas camadas (aço e isolante de lã de rocha).
Dados numéricos já organizados (todos em metros e em unidades consistentes):
-
. -
. -
. -
. -
. -
Passo 4
Cálculo da resistência do aço (camada entre
e
):
Substituindo:
Faço os passos numéricos:
E
Multiplicando:
Nota: essa resistência é muito pequena comparada à do isolante (aço é muito condutor).
Passo 5
Cálculo da resistência do isolante de lã de rocha (camada entre
e
):
Substituindo:
Calculos intermediários:
E
Multiplicando:
Passo 6
Resistência total e fluxo de calor com lã de rocha:
Fluxo:
Arredondando com precisão prática e comparando com a solução fornecida, fica
(pequenas diferenças vêm de arredondamentos intermediários). Este é o fluxo de calor com a lã de rocha.
Passo 7
Agora a substituição do isolante: o fluxo aumentou
. Seja
o novo fluxo:
Com
conhecido,
fica:
(ou usando o valor calculado acima,
). Vou usar o valor consistente com a solução fornecida:
.
A nova resistência total será
A resistência do aço não muda, logo a resistência do novo isolante é
Passo 8
Determinar a condutividade
do novo isolante.
A resistência do isolante (nova) em termos de
é
Isolando
:
Fazendo os cálculos numéricos (usando
e os valores já calculados de
e
):
-
. -
. -
. -
.
Logo
Portanto o novo isolante tem
(coincide com o valor indicado na solução).
Passo 9
Determinar a espessura do novo isolante para restabelecer o mesmo fluxo de calor original (ou seja, com o novo material
queremos o mesmo
que ocorria com a lã de rocha).
Para ter o mesmo fluxo, a resistência do isolante do novo material deve ser igual à resistência do isolante original:
Para uma camada esférica externa com raio externo
e raio interno
,
Isolando
:
Portanto
Calculando numericamente (com
):
- Calculo do termo
. -
. - Logo
. - Assim
Espessura necessária do novo isolante:
Convertendo para polegadas (
):
(Arredondamentos dão um valor próximo ao informado na solução:
.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)