Observa-se que a densidade de um gás ideal aumenta em
quando ele é comprimido isotermicamente de 10 atm para 11 atm . Determine o aumento percentual na densidade do gás se ele for comprimido isotermicamente de 1000 atm para 1001 atm. (Resp. 10%; 0,1%)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e perguntas (vou listar exatamente os números fornecidos):
- É um gás ideal comprimido isotermicamente (temperatura constante).
- Quando a pressão passa de
para , a densidade aumenta . - Pergunta: qual será o aumento percentual da densidade se a compressão isotérmica for de
para ?
Dados identificados:
- Caso A (fornecido):
, , aumento percentual da densidade informado: . - Caso B (pedir):
, . Pedido: aumento percentual da densidade.
Passo 2
Vamos escrever as fórmulas básicas e entender as variáveis envolvidas (passo-a-passo, sem pular etapas).
- A equação dos gases ideais é
onde
é a pressão,
o volume,
o número de mols,
a constante universal dos gases e
a temperatura.
- A densidade
é a massa por volume:
Se a amostra tem
mols e massa molar
, então
. Substituindo em
:
Passo 3
Agora usemos a equação dos gases para eliminar
e relacionar
com
.
Da equação dos gases:
Da equação dos gases:
Substituindo em
obtém-se
Aqui:
-
é a massa molar (constante para o mesmo gás), -
é constante, -
é constante porque o processo é isotérmico.
Logo, para temperatura e gás fixos,é uma constante. Portanto
isto é, a densidade é diretamente proporcional à pressão quando a temperatura é constante.
Passo 4
Consequência prática (fórmula para variação percentual):
Se é proporcional a
, então
Se
A variação relativa (fração) da densidade é
Para obter a variação percentual, multiplica-se por
:
Essa é a fórmula que vamos aplicar aos dois casos. Observação intuitiva: um mesmo incremento absoluto de pressão produz um incremento percentual menor quando a pressão inicial é maior.
Passo 5
Aplicando ao caso dado (verificação rápida):
-
, .
Isso confirma a informação do enunciado.
Passo 6
Agora aplicando ao caso pedido:
-
, .
Interpretação rápida: o mesmo aumento absoluto de
representa apenas
quando a pressão inicial é
.