Observa-se que a densidade de um gás ideal aumenta em 10 \% quando ele é comprimido isotermicamente de 10 atm para 11 atm . Determine o aumento percentual na densidade do gás se ele for comprimido isotermicamente de 1000 atm para 1001 atm. (Resp. 10%; 0,1%)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e perguntas (vou listar exatamente os números fornecidos):
  • É um gás ideal comprimido isotermicamente (temperatura constante).
  • Quando a pressão passa de 10\\ \text{atm} para 11\\ \text{atm}, a densidade aumenta 10\%.
  • Pergunta: qual será o aumento percentual da densidade se a compressão isotérmica for de 1000\\ \text{atm} para 1001\\ \text{atm}?
Dados identificados:
  • Caso A (fornecido): P_1 = 10\\ \text{atm}, P_2 = 11\\ \text{atm}, aumento percentual da densidade informado: 10\%.
  • Caso B (pedir): P_1' = 1000\\ \text{atm}, P_2' = 1001\\ \text{atm}. Pedido: aumento percentual da densidade.

Passo 2

Vamos escrever as fórmulas básicas e entender as variáveis envolvidas (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • A equação dos gases ideais é
PV = nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante universal dos gases e T a temperatura.
  • A densidade \rho é a massa por volume:
\rho = \frac{m}{V}.
Se a amostra tem n mols e massa molar M, então m = nM. Substituindo em \rho:
\rho = \frac{nM}{V}.

Passo 3

Agora usemos a equação dos gases para eliminar n/V e relacionar \rho com P.
Da equação dos gases:
\frac{n}{V} = \frac{P}{RT}.
Substituindo em \rho = \dfrac{nM}{V} obtém-se
\rho = \frac{PM}{RT}.
Aqui:
  • M é a massa molar (constante para o mesmo gás),
  • R é constante,
  • T é constante porque o processo é isotérmico.
    Logo, para temperatura e gás fixos, M/(RT) é uma constante. Portanto
\rho \propto P,
isto é, a densidade é diretamente proporcional à pressão quando a temperatura é constante.

Passo 4

Consequência prática (fórmula para variação percentual):
Se \rho é proporcional a P, então
\frac{\rho_2}{\rho_1}=\frac{P_2}{P_1}.
A variação relativa (fração) da densidade é
\frac{\Delta \rho}{\rho_1}=\frac{\rho_2-\rho_1}{\rho_1}=\frac{P_2-P_1}{P_1}.
Para obter a variação percentual, multiplica-se por 100\%:
\text{Aumento percentual} = \frac{P_2-P_1}{P_1}\times100\%.
Essa é a fórmula que vamos aplicar aos dois casos. Observação intuitiva: um mesmo incremento absoluto de pressão produz um incremento percentual menor quando a pressão inicial é maior.

Passo 5

Aplicando ao caso dado (verificação rápida):
  • P_1=10\\ \text{atm}, P_2=11\\ \text{atm}.
\text{Aumento percentual}=\frac{11-10}{10}\times100\%=\frac{1}{10}\times100\%=0{,}1\times100\%=10\%.
Isso confirma a informação do enunciado.

Passo 6

Agora aplicando ao caso pedido:
  • P_1'=1000\\ \text{atm}, P_2'=1001\\ \text{atm}.
\text{Aumento percentual}=\frac{1001-1000}{1000}\times100\%=\frac{1}{1000}\times100\%=0{,}001\times100\%=0{,}1\%.
Interpretação rápida: o mesmo aumento absoluto de 1\\ \text{atm} representa apenas 0{,}1\% quando a pressão inicial é 1000\\ \text{atm}.

Resposta

10\%
0,1\%

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