Em um tanque de água, existem 10 da espécie A e 40 da espécie B. Um pescador seleciona 4 peixes deste tanque ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de que, nesta amostra, seja selecionado pelo menos um peixe da espécie B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre probabilidade e combinações. Temos um tanque com 10 peixes da espécie A e 40 da espécie B, totalizando 50 peixes. Um pescador vai pegar 4 peixes de forma aleatória e sem devolver. A pergunta é: qual a probabilidade de que pelo menos um dos 4 peixes seja da espécie B? Para resolver isso, vamos usar combinações e o conceito de probabilidades complementares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa "pelo menos um peixe da espécie B". Isso quer dizer que pode ter 1, 2, 3 ou 4 peixes da espécie B na amostra de 4 peixes. Mas calcular todas essas possibilidades separadamente pode ser trabalhoso. Então, vamos usar uma estratégia mais simples: calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de não pegar nenhum peixe da espécie B (ou seja, pegar todos da espécie A), e depois subtrair isso de 1.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de pegar todos os 4 peixes da espécie A. Para isso, usamos a fórmula de combinações, que nos diz de quantas maneiras podemos escolher 4 peixes dentre os 10 da espécie A. A fórmula de combinação é:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Onde:
  • n é o total de elementos,
  • k é o número de elementos a serem escolhidos,
  • ! significa fatorial.
Então, o número de formas de escolher 4 peixes da espécie A é:
C(10, 4) = 10!4!(10-4)! = 210

Passo 4

Agora, vamos calcular o total de maneiras de escolher qualquer 4 peixes entre os 50 disponíveis. Usando a mesma fórmula de combinação:
C(50, 4) = 50!4!(50-4)! = 230300

Passo 5

A probabilidade de pegar todos os 4 peixes da espécie A é a razão entre o número de maneiras de escolher 4 peixes A e o total de maneiras de escolher qualquer 4 peixes:
P(todos A) = C(10, 4)C(50, 4) = 210230300 approx 0,000912

Passo 6

Agora, como queremos a probabilidade de pelo menos um peixe ser da espécie B, usamos a probabilidade complementar:
P(pelo menos um B) = 1 - P(todos A) = 1 - 0,000912 approx 0,999088

Resposta

A probabilidade de que, na amostra de 4 peixes, seja selecionado pelo menos um peixe da espécie B é aproximadamente 0,9991, ou 99,91%.

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