Um lote de 35 peças contém 20 peças conformes e 15 não conformes. Uma amostra de 10 peças é selecionada deste lote. Calcule a probabilidade de que se observe exatamente 5 peças defeituosas, considerando uma amostra não ordenada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um lote com 35 peças, das quais 20 são boas e 15 são defeituosas. A tarefa é calcular a probabilidade de, ao pegar uma amostra de 10 peças, exatamente 5 delas serem defeituosas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são combinações. Combinações são maneiras de selecionar itens de um conjunto sem se importar com a ordem. A fórmula para calcular combinações é:
binomnk = n!k!(n-k)!
onde $ n $ é o total de itens e $ k $ é o número de itens que queremos selecionar.

Passo 3

Agora, vamos identificar os números que vamos usar na fórmula:
  • Total de peças: 35
  • Peças defeituosas: 15
  • Peças boas: 20
  • Tamanho da amostra: 10
  • Queremos exatamente 5 defeituosas na amostra.

Passo 4

A probabilidade de exatamente 5 peças serem defeituosas é dada pela razão entre o número de maneiras de escolher 5 defeituosas e 5 boas, dividido pelo número total de maneiras de escolher 10 peças do lote.
Matematicamente, fica assim:
P = binom155 times binom205binom3510

Passo 5

Vamos calcular cada combinação:
  1. Escolher 5 defeituosas de 15:
binom155 = 15!5!(15-5)! = 3003
  1. Escolher 5 boas de 20:
binom205 = 20!5!(20-5)! = 15504
  1. Escolher 10 peças de 35:
binom3510 = 35!10!(35-10)! = 183579396

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula da probabilidade:
P = 3003 times 15504183579396 approx 46558512183579396 approx 0,2536

Resposta

A probabilidade de observar exatamente 5 peças defeituosas na amostra de 10 peças é aproximadamente 25,36%.

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