Um conjunto cilindro - pistão contém, inicialmente, vapor d’água saturado a 200 kPa . Neste estado, a distância entre o pistão e o fundo do cilindro é 0,1 \mathrm{~m}. O sistema é aquecido até que o volume interno se torne igual ao dobro do volume interno inicial. Determine a distância entre o pistão e o fundo do cilindro no estado final do processo. Calcule também a temperatura da água no estado final desse processo. Admita que o processo ocorre a pressão constante.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A pressão do vapor é P=200\\ \text{kPa} (processo a pressão constante).
    • O vapor está, inicialmente, em estado de vapor saturado (qualidade x=1) à pressão de 200\\ \text{kPa}.
    • Distância inicial entre pistão e fundo do cilindro: h_1=0{,}10\\ \text{m}.
    • O volume interno final é o dobro do volume interno inicial: V_2=2V_1.
  • Perguntas:
    1. Determinar a distância final entre o pistão e o fundo do cilindro (ou seja, h_2).
    2. Determinar a temperatura da água (vapor) no estado final do processo.

Passo 2

Entender a relação entre volume e altura no cilindro-pistão. Seja A a área da seção transversal do cilindro (constante). Então o volume é
V = A\cdot h.
Como A é constante, duplicar o volume significa duplicar a altura. Escrevendo:
V_1 = A\,h_1,\qquad V_2 = A\,h_2.
Se V_2 = 2V_1 então
A\,h_2 = 2(A\,h_1)\quad\Rightarrow\quad h_2 = 2h_1.
Substituindo h_1=0{,}10\\ \text{m} obtemos
h_2 = 2\cdot 0{,}10\\ \text{m} = 0{,}20\\ \text{m}.

Passo 3

Agora vamos à temperatura final. Primeiro interpretar bem o estado inicial: "vapor d’água saturado a 200\\ \text{kPa}" significa que a temperatura inicial é a temperatura de saturação àquela pressão. Peguei esse dado da tabela de vapor d’água (tabelas de propriedades): a temperatura de saturação à pressão 200\\ \text{kPa} é
T_{\text{sat,1}} = 120{,}23^\circ\text{C}.
Em kelvin:
T_1 = 120{,}23 + 273{,}15 = 393{,}38\\ \text{K}.

Passo 4

Explicar o modelo físico usado para relacionar volume e temperatura no processo a pressão constante. Para vapor na fase gasosa (região superaquecida) é comum usar a aproximação do gás perfeito, para a qual vale a equação
v = \frac{R\,T}{P},
onde:
  • v é o volume específico ( \text{m}^3/\text{kg}),
  • R é a constante específica do vapor d’água ( R\approx 0{,}4615\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3/\text{kg}\cdot\text{K}),
  • T é a temperatura absoluta ( \text{K}),
  • P é a pressão ( \text{kPa}).
Se a massa é constante e P é constante, então a equação implica v\propto T (volume específico proporcional à temperatura absoluta). Como o volume total V duplicou e a massa é a mesma, o volume específico também duplica:
v_2 = 2 v_1 \quad\Rightarrow\quad T_2 = 2 T_1
(lembrando que essa relação vale no modelo do gás ideal; no caso real pode haver pequenas diferenças, e a forma mais precisa é consultar a tabela de vapor superaquecido para (P,v).)

Passo 5

Aplicando T_2 = 2T_1 com T_1 = 393{,}38\\ \text{K}:
T_2 = 2\cdot 393{,}38\\ \text{K} = 786{,}76\\ \text{K}.
Convertendo para Celsius:
T_2 = 786{,}76 - 273{,}15 = 513{,}61^\circ\text{C}.
Comentário didático e de validade: como o vapor inicial é saturado e o processo é de aquecimento a pressão constante, imediatamente depois de começar a aquecer o vapor (não havendo líquido) ele fica superaquecido; para estimativas é aceitável usar o modelo de gás ideal e a proporcionalidade v\propto T. Para precisão real em um problema de engenharia, consultaria-se a tabela de vapor superaquecido: procuraria, na tabela à pressão 200\\ \text{kPa}, o valor de v correspondente a v_2 (onde v_2=2v_1, e v_1 é o v_g da tabela saturada a 200\\ \text{kPa}) e leria a temperatura correspondente. O procedimento que fiz (assumir gás ideal) dá um valor aproximado e simples de calcular para a prova.

Resposta

0,20\\ \text{m}
513,6^\circ\text{C}

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