Um recipiente fechado e com volume de 5 \mathrm{~m}^{3} contém 900 kg de granito e ar (massas específicas respectivamente iguais a 2400 e 1,15 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ). Determine a massa de ar contida no recipiente e o volume específico médio do arranjo.

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais dados ele fornece.
Dados fornecidos:
  • Volume total do recipiente: V_{\text{tot}} = 5\\ \mathrm{m}^3.
  • Massa de granito dentro do recipiente: m_{\text{g}} = 900\\ \mathrm{kg}.
  • Massa específica (densidade) do granito: \rho_{\text{g}} = 2400\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Massa específica (densidade) do ar: \rho_{\text{a}} = 1{,}15\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
O enunciado pede:
  1. Determinar a massa de ar contida no recipiente.
  2. Determinar o volume específico médio do arranjo (isto é, o volume por unidade de massa do conjunto granito+ar).

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (pequena aula): densidade ou massa específica \rho é definida como a relação entre massa m e volume V:
\rho=\frac{m}{V}.
Dessa fórmula podemos isolar o volume quando conhecemos a massa e a densidade:
V=\frac{m}{\rho}.
Aqui vou usar essa relação para achar o volume ocupado pelo granito dentro do recipiente. Substituindo m_{\text{g}} e \rho_{\text{g}}:
V_{\text{g}}=\frac{m_{\text{g}}}{\rho_{\text{g}}}=\frac{900}{2400}.
Faço a divisão passo a passo: \dfrac{900}{2400}=\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}=0,375. Assim,
V_{\text{g}}=0{,}375\\ \mathrm{m}^3.

Passo 3

Agora determino o volume que sobra para o ar dentro do recipiente. Como o recipiente total tem volume V_{\text{tot}} e parte dele está ocupada pelo granito V_{\text{g}}, o volume do ar é:
V_{\text{a}}=V_{\text{tot}}-V_{\text{g}}=5-0{,}375.
Fazendo a subtração:
V_{\text{a}}=4{,}625\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Para encontrar a massa do ar usamos novamente a fórmula da densidade, agora isolando a massa:
m=\rho V.
Aplicando ao ar:
m_{\text{a}}=\rho_{\text{a}}\,V_{\text{a}}=1{,}15\cdot 4{,}625.
Vou mostrar a conta de forma clara: 1{,}15\cdot 4{,}625 = 4{,}625 + 0{,}15\cdot 4{,}625.
Calculo 0{,}15\cdot 4{,}625 = 0{,}69375, então
m_{\text{a}}=4{,}625+0{,}69375=5{,}31875\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Agora defino o volume específico médio do arranjo. Volume específico v é o volume por unidade de massa; para o conjunto total é:
v_{\text{m}}=\frac{V_{\text{tot}}}{m_{\text{tot}}},
onde m_{\text{tot}}=m_{\text{g}}+m_{\text{a}} é a massa total do arranjo (granito mais ar).
Calculo primeiro a massa total:
m_{\text{tot}}=900+5{,}31875=905{,}31875\\ \mathrm{kg}.
Agora o volume específico médio:
v_{\text{m}}=\frac{5}{905{,}31875}.
Faço a divisão e apresento com arredondamento adequado (explico: divisão direta pode ser feita como fração ou por cálculo manual; estou arredondando para 6 algarismos significativos no resultado):
v_{\text{m}}\approx 0{,}005523\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.

Passo 6

Breve interpretação e verificação de unidades:
  • A massa do ar tem unidade \mathrm{kg} e o valor obtido ( 5{,}31875\\ \mathrm{kg}) é pequeno porque a densidade do ar é muito menor que a do granito; a maior parte do volume é ar, mas sua massa é pequena comparada ao granito.
  • O volume específico médio v_{\text{m}} tem unidade \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} e é da ordem de 10^{-3}, coerente com materiais sólidos misturados com pequena massa de gás.

Resposta

m_{\text{a}}=5{,}31875\\ \mathrm{kg}
v_{\text{m}}\approx 0{,}005523\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}

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