Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t=0 e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de r(t)=100 t e^-0,01 t^2 litros por minuto. Quanto petróleo vazou na primeira hora? Dica: Utilize a regra da substituição.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume total de petróleo que vazou num tanque em t=0 até t=60 minutos, dado que a vazão é r(t)=100\u2009t\u2009e{−0,01\u2009t2}. O conteúdo é cálculo de integral definida usando substituição.

Passo 2

Escrevemos o volume V como a integral de 0 a 60 de r(t)\u2009dt:
V = integral0^60100,t,e^-0.01,t^2,dt
Fazemos a substituição u=0.01,t^2, de onde du=0.02,t,dt e portanto t,dt=du0.02. Nos limites: quando t=0, u=0; quando t=60, u=0.01·60^2=36.

Passo 3

Substituindo na integral:
V=100integralu=0^u=36e^-udu0.02=1000.02integral0^36e^-u,du=5000integral0^36e^-u,du
Calculamos a integral de e^-u:
integral0^36e^-u,du=[-e^-u]0^36=1-e^-36

Passo 4

Logo o volume é
V=5000,(1-e^-36) litros
Numericamente, como e^-36 é quase zero, obtém-se aproximadamente 5000 litros.

Resposta

V = 5000,(1 - e^{-36}) \approx 5000 litros

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