Considere as funções f(x)=x^3-4, g(x)=2 sen(x+6 pi) e h(x)=-2 x^4+3.
(1,0 pt) Encontre uma fórmula para as funções compostas f circ g, g circ f e hof circ g e determine as respectivas paridades.

Passo 1

Temos as funções f(x)=x^3-4, g(x)=2sin(x+6pi) e h(x)=-2x^4+3. O conteúdo envolve composição de funções e verificação de paridade (função par se F(-x)=F(x), ímpar se F(-x)=-F(x)).

Passo 2

Para fcirc g, usamos (fcirc g)(x)=f(g(x)). Assim,
(fcirc g)(x) = l(2sin(x+6pi)r)^3 - 4 = 8sin^3(x+6pi) - 4
Como sin(x+6pi)=sin x, obtemos
(fcirc g)(x) = 8sin^3 x - 4
Para testar paridade, calculamos (fcirc g)(-x)=8sin^3(-x)-4 = -8sin^3 x - 4, que não é igual nem a (fcirc g)(x) nem a - (fcirc g)(x). Logo, não é par nem ímpar.

Passo 3

Para gcirc f, usamos (gcirc f)(x)=g(f(x)). Assim,
(gcirc f)(x) = 2sinl(x^3 - 4 + 6pir) = 2sin(x^3 - 4)
(pela periodicidade de 6pi). Testando paridade, (gcirc f)(-x)=2sin(-x^3 -4), que não coincide nem com (gcirc f)(x) nem com - (gcirc f)(x). Logo, não é nem par nem ímpar.

Passo 4

Para hcirc fcirc g, calculamos h(f(g(x))). Já vimos f(g(x)) = 8sin^3 x - 4, então
(hcirc fcirc g)(x) = -2,(8sin^3 x - 4)^4 + 3
Testando paridade, substituímos xto -x e obtemos uma expressão diferente da original (nem igual nem oposta), logo não é par nem ímpar.

Resposta

(f\circ g)(x)=8,\sin^3 x - 4, não é par nem ímpar; (g\circ f)(x)=2,\sin(x^3 - 4), não é par nem ímpar; (h\circ f\circ g)(x)=-2,(8,\sin^3 x - 4)^4 + 3, não é par nem ímpar.

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