Verifique que cada uma das séries a seguir é uma série telescópica e mostre que sua soma converge para o número indicado.
sumn=1^infty 2 n+1n^2(n+1)^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar que a série sumn=1^infty 2n+1n^2(n+1)^2 é telescópica e mostrar que sua soma converge para 1. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e séries telescópicas, que ajudam a simplificar somas que, de outra forma, seriam complicadas de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Uma série telescópica é aquela em que muitos termos se cancelam quando a soma é expandida, deixando apenas alguns termos restantes que facilitam o cálculo da soma total.

Passo 3

Para verificar se nossa série é telescópica, precisamos reescrever o termo geral 2n+1n^2(n+1)^2 de uma forma que facilite esse cancelamento. Vamos usar a decomposição em frações parciais.

Passo 4

Vamos supor que 2n+1n^2(n+1)^2 pode ser escrita como:
An + Bn^2 + Cn+1 + D(n+1)^2
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B, C e D que satisfaçam essa igualdade.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por n^2(n+1)^2 para eliminar os denominadores, temos:
2n + 1 = A n (n+1)^2 + B (n+1)^2 + C n^2(n+1) + D n^2

Passo 6

Expandindo os termos do lado direito:
2n + 1 = A n (n^2 + 2n + 1) + B (n^2 + 2n + 1) + C n^2(n + 1) + D n^2
Simplificando:
2n + 1 = A n^3 + 2A n^2 + A n + B n^2 + 2B n + B + C n^3 + C n^2 + D n^2

Passo 7

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
2n + 1 = (A + C) n^3 + (2A + B + C + D) n^2 + (A + 2B) n + B

Passo 8

Como essas duas expressões devem ser iguais para todo n, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
A + C = 0 2A + B + C + D = 0 A + 2B = 2 B = 1

Passo 9

Resolvendo o sistema:
  1. Da última equação, temos B = 1.
  2. Substituindo B = 1 na terceira equação: A + 2(1) = 2 Rightarrow A = 0.
  3. Substituindo A = 0 e B = 1 na segunda equação: 2(0) + 1 + C + D = 0 Rightarrow C + D = -1.
  4. Da primeira equação, A + C = 0 Rightarrow 0 + C = 0 Rightarrow C = 0.
  5. Então, substituindo C = 0 na equação C + D = -1, temos D = -1.

Passo 10

Com os valores encontrados ( A = 0, B = 1, C = 0, D = -1), a decomposição fica:
2n+1n^2(n+1)^2 = 1n^2 - 1(n+1)^2

Passo 11

Agora, podemos escrever a soma da série como:
sumn=1^infty ( 1n^2 - 1(n+1)^2 )
Essa é uma série telescópica porque, ao expandirmos os termos, muitos se cancelam:
( 11^2 - 12^2 ) + ( 12^2 - 13^2 ) + ( 13^2 - 14^2 ) + dots

Passo 12

Observando a expansão, vemos que todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas o primeiro termo da primeira fração e o termo que tende a zero no final:
11^2 - limn to infty 1(n+1)^2 = 1 - 0 = 1

Resposta

Portanto, a soma da série sumn=1^infty 2n+1n^2(n+1)^2 converge para 1.

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