Verifique que cada uma das séries a seguir é uma série telescópica e mostre que sua soma converge para o número indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar que a série é telescópica e mostrar que sua soma converge para 1. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e séries telescópicas, que ajudam a simplificar somas que, de outra forma, seriam complicadas de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Uma série telescópica é aquela em que muitos termos se cancelam quando a soma é expandida, deixando apenas alguns termos restantes que facilitam o cálculo da soma total.
Passo 3
Para verificar se nossa série é telescópica, precisamos reescrever o termo geral de uma forma que facilite esse cancelamento. Vamos usar a decomposição em frações parciais.
Passo 4
Vamos supor que pode ser escrita como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que satisfaçam essa igualdade.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Passo 6
Expandindo os termos do lado direito:
Simplificando:
Passo 7
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 8
Como essas duas expressões devem ser iguais para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da última equação, temos B = 1.
Substituindo B = 1 na terceira equação: A + 2(1) = 2 Rightarrow A = 0.
Substituindo A = 0 e B = 1 na segunda equação: 2(0) + 1 + C + D = 0 Rightarrow C + D = -1.
Da primeira equação, A + C = 0 Rightarrow 0 + C = 0 Rightarrow C = 0.
Então, substituindo C = 0 na equação C + D = -1, temos D = -1.
Passo 10
Com os valores encontrados (A = 0, B = 1, C = 0, D = -1), a decomposição fica:
2n+1n^2(n+1)^2 = 1n^2 - 1(n+1)^2
Passo 11
Agora, podemos escrever a soma da série como:
sumn=1^infty ( 1n^2 - 1(n+1)^2 )
Essa é uma série telescópica porque, ao expandirmos os termos, muitos se cancelam:
Observando a expansão, vemos que todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas o primeiro termo da primeira fração e o termo que tende a zero no final:
11^2 - limn to infty 1(n+1)^2 = 1 - 0 = 1
Resposta
Portanto, a soma da série sumn=1^infty 2n+1n^2(n+1)^2 converge para 1.