Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t=0 e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de r(t)=100 e^-0,04 t litros por minuto. Quanto petróleo vazou na primeira hora? Dica: Utilize a regra da substituição.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o total de petróleo vazado na primeira hora, dado que a taxa de vazão é r(t)=100 e^{-0.04 t} litros por minuto. Precisamos usar integração definida e a regra da substituição.

Passo 2

Montamos a integral que dá o volume vazado de t=0 até t=60: integral0^60100,e^-0.04,t,dt

Passo 3

Aplicamos substituição para simplificar: seja u=-0.04,t, então du=-0.04,dt e dt=du/(-0.04). Quando t=0, u=0; quando t=60, u=-2.4.

Passo 4

Substituindo na integral: integral0^60100,e^-0.04t,dt=100integral0^-2.4e^udu-0.04=-1000.04integral0^-2.4e^udu Invertendo limites de integração para ficar na ordem crescente: 1000.04integral-2.4^0e^udu=2500l[e^ur]-2.4^0

Passo 5

Calculamos o valor: 2500,(e^0-e^-2.4)=2500,(1-e^-2.4)approx2273.25 litros

Resposta

O total de petróleo vazado na primeira hora é 2500(1-e^-2.4) litros, aproximadamente 2273.25 litros.

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