Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em
e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de
litros por minuto. Quanto petróleo vazou na primeira hora? Dica: Utilize a regra da substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o total de petróleo vazado na primeira hora, dado que a taxa de vazão é r(t)=100 e^{-0.04 t} litros por minuto. Precisamos usar integração definida e a regra da substituição.
Passo 2
Montamos a integral que dá o volume vazado de t=0 até t=60:
Passo 3
Aplicamos substituição para simplificar: seja
, então
e
. Quando
,
; quando
,
.
Passo 4
Substituindo na integral:
Invertendo limites de integração para ficar na ordem crescente:
Passo 5
Calculamos o valor:
Resposta
O total de petróleo vazado na primeira hora é
litros, aproximadamente
litros.