Calcule a integral
integral1^3 xraiz36-x^2 d x
utilizando a substituição trigonométrica x=6 sen(theta).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral1^3 xraiz36-x^2,dx usando a substituição trigonométrica x=6sen(theta). O conteúdo principal é integrar funções envolvendo raiza^2-x^2 transformando tudo em funções trigonométricas e ajustando dx e os limites de integração.

Passo 2

Fazendo a substituição x=6sen(theta) temos
dx=6cos(theta),dtheta
e
raiz36-x^2=raiz36-36sen^2(theta)=6cos(theta)

Passo 3

Precisamos também mudar os limites: quando x=1,
sen(theta1)=16Rightarrowtheta1=arcsinl(tfrac16r),
e quando x=3,
sen(theta2)=36=tfrac12Rightarrowtheta2=arcsinl(tfrac12r)=pi6

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral1^3xraiz36-x^2,dx =integraltheta1^theta26sen(theta)6cos(theta)cdot6cos(theta),dtheta =integraltheta1^theta26sen(theta),dtheta

Passo 5

Agora calculamos a antiderivada:
integral6sen(theta),dtheta=-6cos(theta)+C

Passo 6

Avaliando de theta1=arcsin(1/6) até theta2=pi/6:
-6cos(theta)|theta1^theta2=-6cosl(tfracpi6r)+6cosl(arcsin(tfrac16)r)

Passo 7

Sabemos que cos(pi/6)=tfracraiz32 e
cosl(arcsin(tfrac16)r)=raiz1-l(tfrac16r)^2=raiztfrac3536=tfracraiz356

Passo 8

Substituindo esses valores:
-6cdottfracraiz32+6cdottfracraiz356=-3raiz3+raiz35

Resposta

raiz35-3raiz3

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